MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Determinați polinomul de gradul trei cu coeficienți reali P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, știind că una dintre rădăcini este 2−i2-i și că P(0)=10P(0) = 10 și P(1)=6P(1) = 6.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 2−i2-i este rădăcină, atunci și conjugata sa 2+i2+i este rădăcină.
23 puncte
Notăm a treia rădăcină cu tt. Folosind relațiile lui Viète, avem: suma rădăcinilor 2−i+2+i+t=4+t=−a2-i + 2+i + t = 4+t = -a, suma produselor două câte două (2−i)(2+i)+(2−i)t+(2+i)t=5+4t=b(2-i)(2+i) + (2-i)t + (2+i)t = 5 + 4t = b, și produsul rădăcinilor (2−i)(2+i)t=5t=−c(2-i)(2+i)t = 5t = -c.
32 puncte
Din P(0)=cP(0)=c, obținem c=10c=10, iar din produs, c=−5tc=-5t, deci −5t=10-5t=10 și t=−2t=-2.
42 puncte
Substituim t=−2t=-2 pentru a găsi aa și bb: a=−4−(−2)=−2a = -4 - (-2) = -2, b=5+4(−2)=−3b = 5 + 4(-2) = -3.
51 punct
Verificăm P(1)=1+a+b+c=1−2−3+10=6P(1)=1 + a + b + c = 1 -2 -3 +10 =6, care este condiția dată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.