MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie G={(a,b)∈R2∣a≠0}G = \{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \mid a \neq 0 \} și legea de compoziție ∗* definită prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b)*(c,d) = (ac, ad + b). Arătați că (G,∗)(G,*) este un grup și determinați elementul neutru și simetricul unui element (x,y)∈G(x,y) \in G.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea: Pentru orice (a,b),(c,d),(e,f)∈G(a,b), (c,d), (e,f) \in G, avem ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac, ad+b)*(e,f) = (ace, acf + ad + b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce, cf+d) = (ace, a(cf+d) + b) = (ace, acf + ad + b), deci operația este asociativă.
22 puncte
Elementul neutru: Căutăm (e1,e2)∈G(e_1,e_2) \in G astfel încât (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b)*(e_1,e_2) = (a,b) și (e1,e2)∗(a,b)=(a,b)(e_1,e_2)*(a,b) = (a,b). Din (a,b)∗(e1,e2)=(ae1,ae2+b)=(a,b)(a,b)*(e_1,e_2) = (ae_1, ae_2 + b) = (a,b), obținem ae1=aae_1 = a și ae2+b=bae_2 + b = b. Cum a≠0a \neq 0, rezultă e1=1e_1 = 1 și e2=0e_2 = 0. Verificăm că (1,0)∗(a,b)=(1⋅a,1⋅b+0)=(a,b)(1,0)*(a,b) = (1 \cdot a, 1 \cdot b + 0) = (a,b), deci elementul neutru este (1,0)(1,0).
33 puncte
Simetricul unui element (x,y)(x,y): Căutăm (x′,y′)∈G(x',y') \in G astfel încât (x,y)∗(x′,y′)=(1,0)(x,y)*(x',y') = (1,0). Avem (xx′,xy′+y)=(1,0)(x x', x y' + y) = (1,0), deci xx′=1x x' = 1 și xy′+y=0x y' + y = 0. Din x≠0x \neq 0, obținem x′=1xx' = \frac{1}{x} și y′=−yxy' = -\frac{y}{x}. Simetricul este (1x,−yx)(\frac{1}{x}, -\frac{y}{x}).
42 puncte
Verificăm că operația este internă: Pentru (a,b),(c,d)∈G(a,b), (c,d) \in G, a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, atunci ac≠0ac \neq 0, deci (ac,ad+b)∈G(ac, ad+b) \in G. Și simetricul (1x,−yx)(\frac{1}{x}, -\frac{y}{x}) are prima componentă 1x≠0\frac{1}{x} \neq 0 dacă x≠0x \neq 0, deci aparține lui GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.