MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2x+log⁡4y=2x2+y2=20\begin{cases} \log_2 x + \log_4 y = 2 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}, unde x,y>0x, y > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Simplificarea primei ecuații folosind proprietăți ale logaritmilor: log⁡4y=log⁡2y2\log_4 y = \frac{\log_2 y}{2}, deci log⁡2x+12log⁡2y=2\log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 y = 2. Înmulțind cu 2: 2log⁡2x+log⁡2y=4  ⟹  log⁡2(x2y)=4  ⟹  x2y=24=162 \log_2 x + \log_2 y = 4 \implies \log_2 (x^2 y) = 4 \implies x^2 y = 2^4 = 16.
23 puncte
Exprimarea sistemului simplificat: {x2y=16x2+y2=20\begin{cases} x^2 y = 16 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}. Se exprimă x2=16yx^2 = \frac{16}{y} și se înlocuiește în a doua ecuație: 16y+y2=20\frac{16}{y} + y^2 = 20.
34 puncte
Rezolvarea ecuației: 16y+y2=20  ⟹  16+y3=20y  ⟹  y3−20y+16=0\frac{16}{y} + y^2 = 20 \implies 16 + y^3 = 20y \implies y^3 - 20y + 16 = 0. Se observă că y=4y=4 este soluție. Factorizare: (y−4)(y2+4y−4)=0(y-4)(y^2 + 4y - 4) = 0. Soluțiile pentru y>0y>0 sunt y=4y=4 și y=−2+22y = -2 + 2\sqrt{2}. Pentru y=4y=4: din x2y=16x^2 y = 16, x2=4  ⟹  x=2x^2 = 4 \implies x=2. Pentru y=−2+22y = -2 + 2\sqrt{2}: x2=16y=16−2+22=8(2+1)x^2 = \frac{16}{y} = \frac{16}{-2 + 2\sqrt{2}} = 8(\sqrt{2}+1), deci x=8(2+1)x = \sqrt{8(\sqrt{2}+1)}. Verificare: ambele perechi satisfac x,y>0x,y>0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.