MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeLegi de compoziție
Fie G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}. Se consideră operația de înmulțire a numerelor complexe. a) Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. b) Determinați dacă H={z∈G∣Re(z)>0}H = \{ z \in G \mid \text{Re}(z) > 0 \} este subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

15 puncte · 5 pași
a)5 puncte
13 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1, deci ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, așadar z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.\n
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea numerelor complexe este asociativă.\n
b)5 puncte
32 puncte
Elementul neutru: 1∈C1 \in \mathbb{C} are ∣1∣=1|1| = 1, deci 1∈G1 \in G și pentru orice z∈Gz \in G, z⋅1=1⋅z=zz \cdot 1 = 1 \cdot z = z.\n
43 puncte
Elementul simetric: pentru orice z∈Gz \in G, ∣z∣=1|z| = 1, deci z−1=z‾z^{-1} = \overline{z} are ∣z‾∣=1|\overline{z}| = 1, așadar z‾∈G\overline{z} \in G și z⋅z‾=z‾⋅z=1z \cdot \overline{z} = \overline{z} \cdot z = 1.\n
c)5 puncte
55 puncte
Pentru HH: verificăm dacă HH este subgrup. Închiderea: fie z1,z2∈Hz_1, z_2 \in H, deci Re(z1)>0\text{Re}(z_1) > 0 și Re(z2)>0\text{Re}(z_2) > 0. Atunci Re(z1⋅z2)=Re(z1)Re(z2)−Im(z1)Im(z2)\text{Re}(z_1 \cdot z_2) = \text{Re}(z_1)\text{Re}(z_2) - \text{Im}(z_1)\text{Im}(z_2). Nu este garantat că aceasta este >0> 0 (de exemplu, pentru z1=iz_1 = i, z2=iz_2 = i, dar i∉Hi \notin H deoarece Re(i)=0\text{Re}(i)=0). Luăm z1=eiπ/3z_1 = e^{i\pi/3} și z2=eiπ/3z_2 = e^{i\pi/3}, atunci Re(z1)=Re(z2)=cos⁡(π/3)=1/2>0\text{Re}(z_1)=\text{Re}(z_2)=\cos(\pi/3)=1/2 > 0, dar z1⋅z2=ei2π/3z_1 \cdot z_2 = e^{i2\pi/3} are Re(cos⁡(2π/3))=−1/2<0\text{Re}(\cos(2\pi/3)) = -1/2 < 0, deci nu este închisă. Așadar, HH nu este subgrup. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.