MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O întreprindere fabrică un produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.5x2+10x+200C(x) = 0.5x^2 + 10x + 200 (măsurat în lei), iar venitul total din vânzare este V(x)=80x−x2V(x) = 80x - x^2 (în lei). Determinați numărul de unități care maximizează profitul întreprinderii și calculați valoarea profitului maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem funcția profit: P(x)=V(x)−C(x)=(80x−x2)−(0.5x2+10x+200)=−1.5x2+70x−200P(x) = V(x) - C(x) = (80x - x^2) - (0.5x^2 + 10x + 200) = -1.5x^2 + 70x - 200.
23 puncte
Găsim punctele critice derivând: P′(x)=−3x+70P'(x) = -3x + 70. Punem P′(x)=0P'(x) = 0: −3x+70=0⇒x=703≈23.33-3x + 70 = 0 \Rightarrow x = \frac{70}{3} \approx 23.33.
32 puncte
Verificăm că este maxim calculând derivata a doua: P′′(x)=−3<0P''(x) = -3 < 0, deci funcția este concavă și punctul critic este maxim.
43 puncte
Calculăm profitul maxim: P(703)=−1.5(703)2+70⋅703−200=−24503+49003−200=18503≈616.67P\left( \frac{70}{3} \right) = -1.5 \left( \frac{70}{3} \right)^2 + 70 \cdot \frac{70}{3} - 200 = -\frac{2450}{3} + \frac{4900}{3} - 200 = \frac{1850}{3} \approx 616.67 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.