MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=4x⋅y=64\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 4 \\ x \cdot y = 64 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Schimbarea bazei pentru log⁡4(y)\log_4(y): log⁡4(y)=log⁡2(y)log⁡2(4)=log⁡2(y)2\log_4(y) = \frac{\log_2(y)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(y)}{2}.
23 puncte
Notăm a=log⁡2(x)a = \log_2(x) și b=log⁡2(y)b = \log_2(y). Atunci sistemul devine: a+12b=4a + \frac{1}{2}b = 4 și din x⋅y=64x \cdot y = 64, avem 2a⋅2b=2a+b=64=262^a \cdot 2^b = 2^{a+b} = 64 = 2^6, deci a+b=6a+b = 6.
33 puncte
Rezolvăm sistemul liniar: a+12b=4a + \frac{1}{2}b = 4 și a+b=6a+b=6. Scăzând prima ecuație din a doua, obținem 12b=2\frac{1}{2}b = 2, deci b=4b=4. Atunci a=6−b=2a = 6 - b = 2.
42 puncte
Determinăm xx și yy: x=2a=4x = 2^a = 4, y=2b=16y = 2^b = 16. Verificăm condițiile: x>0x>0 și y>0y>0, care sunt îndeplinite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.