MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+2log⁡4(y)=4x⋅y=32\begin{cases} \log_2(x) + 2\log_4(y) = 4 \\ x \cdot \sqrt{y} = 32 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x>0x > 0 și y>0y > 0, deoarece logaritmii și radicalii necesită argumente pozitive.
24 puncte
Utilizarea proprietății log⁡4(y)=12log⁡2(y)\log_4(y) = \frac{1}{2} \log_2(y) pentru a transforma prima ecuație: log⁡2(x)+2⋅12log⁡2(y)=log⁡2(x)+log⁡2(y)=log⁡2(xy)=4\log_2(x) + 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2(y) = \log_2(x) + \log_2(y) = \log_2(xy) = 4, deci xy=16xy = 16.
33 puncte
Substituirea x=16/yx = 16/y din xy=16xy = 16 în a doua ecuație: 16y⋅y=32\frac{16}{y} \cdot \sqrt{y} = 32. Simplificare: 16y/y=32⇒y/y=2⇒1/y=2⇒y=1/2⇒y=1/416 \sqrt{y} / y = 32 \Rightarrow \sqrt{y} / y = 2 \Rightarrow 1/\sqrt{y} = 2 \Rightarrow \sqrt{y} = 1/2 \Rightarrow y = 1/4. Atunci x=16/(1/4)=64x = 16 / (1/4) = 64. Verificarea că x=64>0x = 64 > 0 și y=1/4>0y = 1/4 > 0 respectă domeniul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.