MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexePolinoame
Fie Un={z∈C∣zn=1}U_n = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1 \} pentru un n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Considerând operația de înmulțire a numerelor complexe, demonstrați că (Un,⋅)(U_n, \cdot) este un grup pentru orice nn. Apoi, pentru n=4n=4, determinați toate elementele lui U4U_4 și calculați produsul acestora.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: fie z,w∈Unz,w \in U_n, deci zn=1z^n = 1 și wn=1w^n = 1. Atunci (zw)n=znwn=1⋅1=1(zw)^n = z^n w^n = 1 \cdot 1 = 1, deci zw∈Unzw \in U_n.
21 punct
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea numerelor complexe, care este asociativă.
31 punct
Elementul neutru este 1∈C1 \in \mathbb{C}, și 1n=11^n = 1, deci 1∈Un1 \in U_n.
42 puncte
Pentru invers, fie z∈Unz \in U_n; atunci zn=1z^n = 1, deci z−1=zn−1z^{-1} = z^{n-1} (deoarece z⋅zn−1=zn=1z \cdot z^{n-1} = z^n = 1). Verificăm: (z−1)n=(zn−1)n=zn(n−1)=(zn)n−1=1n−1=1(z^{-1})^n = (z^{n-1})^n = z^{n(n-1)} = (z^n)^{n-1} = 1^{n-1} = 1, deci z−1∈Unz^{-1} \in U_n.
54 puncte
Pentru n=4n=4, U4={z∈C∣z4=1}U_4 = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^4 = 1 \}. Soluțiile sunt zk=ei2kπ4=eikπ2z_k = e^{i \frac{2k\pi}{4}} = e^{i \frac{k\pi}{2}} pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3, adică 1,i,−1,−i1, i, -1, -i. Produsul elementelor: 1⋅i⋅(−1)⋅(−i)=1⋅i⋅(−1)⋅(−i)=(i⋅(−i))⋅(1⋅(−1))=(1)⋅(−1)=−11 \cdot i \cdot (-1) \cdot (-i) = 1 \cdot i \cdot (-1) \cdot (-i) = (i \cdot (-i)) \cdot (1 \cdot (-1)) = (1) \cdot (-1) = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.