MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡3(x)−log⁡3(y)=2x2−y2=72\begin{cases} \log_3(x) - \log_3(y) = 2 \\ x^2 - y^2 = 72 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din prima ecuație, folosind proprietățile logaritmilor, log⁡3(xy)=2\log_3\left(\frac{x}{y}\right) = 2, deci xy=32=9\frac{x}{y} = 3^2 = 9, adică x=9yx = 9y.
24 puncte
Înlocuim x=9yx = 9y în a doua ecuație: (9y)2−y2=72⇒81y2−y2=80y2=72⇒y2=7280=910⇒y=±910=±310(9y)^2 - y^2 = 72 \Rightarrow 81y^2 - y^2 = 80y^2 = 72 \Rightarrow y^2 = \frac{72}{80} = \frac{9}{10} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}.
33 puncte
Pentru fiecare valoare a lui yy, găsim x=9yx = 9y. Verificăm domeniul: x>0x > 0 și y>0y > 0 deoarece logaritmii sunt definiți pentru numere pozitive. Deci y>0y > 0, ceea ce exclude y=−310y = -\frac{3}{\sqrt{10}}. Rămâne y=310y = \frac{3}{\sqrt{10}}, iar x=9⋅310=2710x = 9 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{27}{\sqrt{10}}. Soluția sistemului este (x,y)=(2710,310)(x,y) = \left(\frac{27}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.