MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeLegi de compoziție
Fie nn un număr natural, n≥2n \geq 2. Se consideră mulțimea Zn={0,1,…,n−1}\mathbb{Z}_n = \{0,1,\dots,n-1\} cu operațiile de adunare și înmulțire modulo nn. a) Demonstrați că Zn\mathbb{Z}_n este inel comutativ. b) Determinați pentru care valori ale lui nn inelul Zn\mathbb{Z}_n este corp. c) Pentru n=6n=6, găsiți elementele inversabile din Z6\mathbb{Z}_6 și verificați dacă acestea formează un subinel.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se arată că (Zn,+)(\mathbb{Z}_n, +) este grup abelian, unde adunarea este definită modulo nn, cu element neutru 00 și inversul lui kk este n−kn-k.
23 puncte
Se arată că înmulțirea modulo nn este asociativă, distributivă față de adunare, și are element neutru 11, deci Zn\mathbb{Z}_n este inel comutativ.
32 puncte
Zn\mathbb{Z}_n este corp dacă și numai dacă nn este număr prim, deoarece un element kk este inversabil modulo nn dacă și numai dacă cmmdc(k,n)=1\text{cmmdc}(k,n)=1.
42 puncte
În Z6\mathbb{Z}_6, elementele inversabile sunt acelea pentru care cmmdc(k,6)=1\text{cmmdc}(k,6)=1, adică 11 și 55. Acestea nu formează subinel deoarece, de exemplu, 1+5=6≡0mod  61+5=6 \equiv 0 \mod 6, iar 00 nu este în mulțimea {1,5}\{1,5\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.