MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriIdentități algebrice
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și x,y∈Gx, y \in G astfel încât x2=y2=(xy)2=ex^2 = y^2 = (xy)^2 = e. Demonstrează că xy=yxxy = yx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din (xy)2=e(xy)^2 = e, avem xyxy=exyxy = e.
23 puncte
Înmulțim la stânga cu x−1x^{-1}: x−1(xyxy)=x−1ex^{-1} (xyxy) = x^{-1} e. Folosind asociativitatea și x2=ex^2 = e (deci x−1=xx^{-1} = x), obținem yxy=xy x y = x.
32 puncte
Înmulțim la dreapta cu y−1y^{-1}: (yxy)y−1=xy−1(y x y) y^{-1} = x y^{-1}. Deoarece y2=ey^2 = e, avem y−1=yy^{-1} = y, deci yx=xyy x = x y.
42 puncte
Concluzie: xy=yxxy = yx, deci elementele comută.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.