MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât f(x)+f(−x)=2cos⁡xf(x) + f(-x) = 2 \cos x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Să se calculeze ∫−π/2π/2f(x) dx\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Descompunem ff în parte pară și impară: f(x)=fp(x)+fi(x)f(x) = f_p(x) + f_i(x), unde fp(x)=f(x)+f(−x)2f_p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} și fi(x)=f(x)−f(−x)2f_i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}. Integrala funcției impare pe un interval simetric este 00, deci ∫−π/2π/2f(x) dx=∫−π/2π/2fp(x) dx\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f_p(x) \, dx.\n
24 puncte
Din condiția dată, f(x)+f(−x)=2cos⁡xf(x) + f(-x) = 2 \cos x, deci fp(x)=cos⁡xf_p(x) = \cos x.\n
33 puncte
Calculăm integrala părții pare: ∫−π/2π/2cos⁡x dx=2∫0π/2cos⁡x dx=2⋅sin⁡x∣0π/2=2⋅(1−0)=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx = 2 \cdot \sin x \big|_{0}^{\pi/2} = 2 \cdot (1 - 0) = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.