MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Să se determine valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡a(x2−4x+3)=1\log_a(x^2 - 4x + 3) = 1 are exact două soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabiliți condițiile de existență: pentru bază, a>0a > 0 și a≠1a \neq 1; pentru argument, x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0, adică (x−1)(x−3)>0(x-1)(x-3) > 0, deci x∈(−∞,1)∪(3,∞)x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty).
23 puncte
Din definiția logaritmului, ecuația devine x2−4x+3=ax^2 - 4x + 3 = a, deoarece log⁡a(M)=1⇒M=a\log_a(M) = 1 \Rightarrow M = a.
34 puncte
Analizați ecuația x2−4x+(3−a)=0x^2 - 4x + (3 - a) = 0. Pentru a avea exact două soluții reale distincte, discriminantul trebuie să fie pozitiv: Δ=16−4(3−a)=4+4a>0⇒a>−1\Delta = 16 - 4(3 - a) = 4 + 4a > 0 \Rightarrow a > -1. Totuși, soluțiile trebuie să verifice condiția x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0. Găsiți soluțiile ecuației pătratice: x1,2=4±4+4a2=2±1+ax_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4+4a}}{2} = 2 \pm \sqrt{1+a}. Pentru ca acestea să fie în domeniul (−∞,1)∪(3,∞)(-\infty, 1) \cup (3, \infty), analizați cazurile: dacă 1+a>1\sqrt{1+a} > 1, atunci x1=2−1+a<1x_1 = 2 - \sqrt{1+a} < 1 și x2=2+1+a>3x_2 = 2 + \sqrt{1+a} > 3 pentru anumite valori ale lui aa. Rezolvați inegalitățile: 2−1+a<1⇒1+a>1⇒a>02 - \sqrt{1+a} < 1 \Rightarrow \sqrt{1+a} > 1 \Rightarrow a > 0, și 2+1+a>3⇒1+a>1⇒a>02 + \sqrt{1+a} > 3 \Rightarrow \sqrt{1+a} > 1 \Rightarrow a > 0. Combinați cu condițiile inițiale: a>0a > 0 și a≠1a \neq 1. Deci, a∈(0,1)∪(1,∞)a \in (0,1) \cup (1, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.