MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul Q(X)=X4−2X3+kX2−2X+1Q(X) = X^4 - 2X^3 + kX^2 - 2X + 1. Determinați valoarea lui kk pentru care polinomul este divizibil cu X2+1X^2 + 1. Apoi, pentru această valoare a lui kk, rezolvați ecuația Q(X)=0Q(X) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Polinomul Q(X)Q(X) este divizibil cu X2+1X^2+1 dacă și numai dacă restul împărțirii lui Q(X)Q(X) la X2+1X^2+1 este zero. Folosind faptul că X2=−1X^2 = -1 pentru X2+1=0X^2+1=0, substituim în Q(X)Q(X): Q(X)=X4−2X3+kX2−2X+1=(X2)2−2X(X2)+k(X2)−2X+1=(−1)2−2X(−1)+k(−1)−2X+1=1+2X−k−2X+1=2−kQ(X) = X^4 - 2X^3 + kX^2 - 2X + 1 = (X^2)^2 - 2X(X^2) + k(X^2) - 2X + 1 = (-1)^2 - 2X(-1) + k(-1) - 2X + 1 = 1 + 2X - k - 2X + 1 = 2 - k. Pentru ca restul să fie zero, trebuie ca 2−k=02-k=0, deci k=2k=2.
23 puncte
Pentru k=2k=2, polinomul devine Q(X)=X4−2X3+2X2−2X+1Q(X) = X^4 - 2X^3 + 2X^2 - 2X + 1. Factorizăm: Q(X)=(X4+2X2+1)−2X3−2X=(X2+1)2−2X(X2+1)=(X2+1)(X2+1−2X)=(X2+1)(X2−2X+1)=(X2+1)(X−1)2Q(X) = (X^4 + 2X^2 + 1) - 2X^3 - 2X = (X^2+1)^2 - 2X(X^2+1) = (X^2+1)(X^2+1 - 2X) = (X^2+1)(X^2 - 2X + 1) = (X^2+1)(X-1)^2.
33 puncte
Ecuația Q(X)=0Q(X)=0 are soluțiile (X2+1)(X−1)2=0(X^2+1)(X-1)^2=0, deci X2+1=0X^2+1=0 sau (X−1)2=0(X-1)^2=0. Astfel, X=iX = i, X=−iX = -i, sau X=1X=1 (dublă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.