MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea S={a+b2∣a,b∈Z}S = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. Demonstrați că (S,+,⋅)(S, +, \cdot) formează un inel comutativ, dar nu un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea uzuală a numerelor reale. Găsiți toate elementele inversabile în acest inel.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Verificăm închiderea față de adunare. Pentru x=a1+b12x = a_1 + b_1\sqrt{2} și y=a2+b22y = a_2 + b_2\sqrt{2} din SS, avem x+y=(a1+a2)+(b1+b2)2∈Sx+y = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{2} \in S deoarece a1+a2,b1+b2∈Za_1+a_2, b_1+b_2 \in \mathbb{Z}.
22 puncte
Adunarea este asociativă, comutativă, elementul neutru este 0=0+02∈S0 = 0 + 0\sqrt{2} \in S, și pentru orice x=a+b2x = a + b\sqrt{2}, inversul aditiv este −x=−a−b2∈S-x = -a - b\sqrt{2} \in S.
31 punct
Verificăm închiderea față de înmulțire. x⋅y=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2x \cdot y = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}, unde a1a2+2b1b2a_1a_2 + 2b_1b_2 și a1b2+a2b1a_1b_2 + a_2b_1 sunt numere întregi, deci x⋅y∈Sx \cdot y \in S.
42 puncte
Înmulțirea este asociativă și comutativă (se verifică prin calcul direct). Elementul neutru pentru înmulțire este 1=1+02∈S1 = 1 + 0\sqrt{2} \in S.
51 punct
Distributivitatea înmulțirii față de adunare se verifică folosind proprietățile numerelor reale.
62 puncte
Inelul nu este corp deoarece există elemente nenule fără invers. Exemplu: 2=2+022 = 2 + 0\sqrt{2} este nenul, dar inversul său 12\frac{1}{2} nu aparține lui SS, deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}.
71 punct
Elementele inversabile satisfac (a+b2)(c+d2)=1(a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) = 1 pentru c,d∈Zc,d \in \mathbb{Z}, ceea ce conduce la sistemul {ac+2bd=1ad+bc=0\begin{cases} ac + 2bd = 1 \\ ad + bc = 0 \end{cases}. Soluțiile corespund condiției a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1. Deci, elementele inversabile sunt de forma a+b2a + b\sqrt{2} cu a,b∈Za,b \in \mathbb{Z} și a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.