MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie funcția f(x)=mx2−2(m+1)x+4f(x) = mx^2 - 2(m+1)x + 4, cu m∈Rm \in \mathbb{R}, m≠0m \neq 0. Determinați valorile lui mm pentru care ecuația f(x)=0f(x) = 0 are două rădăcini reale distincte x1x_1 și x2x_2 astfel încât x12+x22>5x_1^2 + x_2^2 > 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Condiția pentru rădăcini reale distincte: Δ>0\Delta > 0. Calculăm Δ=[−2(m+1)]2−4⋅m⋅4=4(m−1)2\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot m \cdot 4 = 4(m-1)^2. Pentru m≠1m \neq 1, avem Δ>0\Delta > 0.
23 puncte
Folosim relațiile lui Viète: x1+x2=2(m+1)mx_1 + x_2 = \frac{2(m+1)}{m} și x1x2=4mx_1 x_2 = \frac{4}{m}. Atunci x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=4(m+1)2m2−8mx_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \frac{4(m+1)^2}{m^2} - \frac{8}{m}.
32 puncte
Inegalitatea x12+x22>5x_1^2 + x_2^2 > 5 devine 4(m+1)2m2−8m>5\frac{4(m+1)^2}{m^2} - \frac{8}{m} > 5. Multiplicăm cu m2m^2 (ținând cont că m≠0m \neq 0): 4(m+1)2−8m>5m24(m+1)^2 - 8m > 5m^2.
42 puncte
Simplificăm: 4(m2+2m+1)−8m>5m24(m^2 + 2m + 1) - 8m > 5m^2 dă 4m2+8m+4−8m>5m24m^2 + 8m + 4 - 8m > 5m^2, deci 4>m24 > m^2, adică −2<m<2-2 < m < 2. Combinând cu m≠0m \neq 0 și m≠1m \neq 1 (pentru rădăcini distincte), soluția finală este m∈(−2,0)∪(0,1)∪(1,2)m \in (-2,0) \cup (0,1) \cup (1,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.