MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definite
Calculați integrala ∫−11(x3cos⁡x+2x2)dx\int_{-1}^{1} (x^3 \cos x + 2x^2) dx folosind proprietățile integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se observă că funcția f(x)=x3cos⁡x+2x2f(x) = x^3 \cos x + 2x^2 se poate scrie ca sumă dintre o funcție impară și o funcție pară. Într-adevăr, g(x)=x3cos⁡xg(x) = x^3 \cos x este impară deoarece g(−x)=(−x)3cos⁡(−x)=−x3cos⁡x=−g(x)g(-x) = (-x)^3 \cos(-x) = -x^3 \cos x = -g(x), iar h(x)=2x2h(x) = 2x^2 este pară deoarece h(−x)=2(−x)2=2x2=h(x)h(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = h(x).
23 puncte
Folosind proprietatea că integrala unei funcții impare pe un interval simetric față de origine este zero, avem ∫−11g(x)dx=∫−11x3cos⁡xdx=0\int_{-1}^{1} g(x) dx = \int_{-1}^{1} x^3 \cos x dx = 0.
33 puncte
Pentru funcția pară h(x)=2x2h(x) = 2x^2, avem ∫−11h(x)dx=2∫01h(x)dx=2∫012x2dx=4∫01x2dx\int_{-1}^{1} h(x) dx = 2 \int_{0}^{1} h(x) dx = 2 \int_{0}^{1} 2x^2 dx = 4 \int_{0}^{1} x^2 dx. Calculăm ∫01x2dx=[x33]01=13\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}, deci ∫−11h(x)dx=4⋅13=43\int_{-1}^{1} h(x) dx = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
40 puncte
Rezultatul final este ∫−11f(x)dx=0+43=43\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.