MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R,a2+b2≠0}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 \neq 0 \right\}. Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice A,B∈MA, B \in M cu A=(ab−ba)A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} și B=(cd−dc)B = \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix}, produsul A⋅B=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)A \cdot B = \begin{pmatrix} ac - bd & ad + bc \\ -(ad + bc) & ac - bd \end{pmatrix} are forma (xy−yx)\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} cu x=ac−bdx = ac - bd, y=ad+bcy = ad + bc, și x2+y2=(a2+b2)(c2+d2)≠0x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \neq 0, deci A⋅B∈MA \cdot B \in M.
21 punct
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor peste R\mathbb{R}.
33 puncte
Identitatea: matricea I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} este în MM pentru a=1,b=0a=1, b=0, și pentru orice A∈MA \in M, A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A.
44 puncte
Inversa: pentru orice A∈MA \in M, det⁡A=a2+b2≠0\det A = a^2 + b^2 \neq 0, deci există A−1=1a2+b2(a−bba)A^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care are forma (a′b′−b′a′)\begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix} cu a′=aa2+b2a' = \frac{a}{a^2 + b^2}, b′=−ba2+b2b' = -\frac{b}{a^2 + b^2}, și (a′)2+(b′)2=1a2+b2≠0(a')^2 + (b')^2 = \frac{1}{a^2 + b^2} \neq 0, deci A−1∈MA^{-1} \in M.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.