MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} și operația de înmulțire obișnuită a numerelor reale. Studiați dacă (M,⋅)(M, \cdot) formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x=a1+b12,y=a2+b22∈Mx = a_1 + b_1\sqrt{2}, y = a_2 + b_2\sqrt{2} \in M, avem x⋅y=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2x \cdot y = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}. Deoarece a1a2+2b1b2∈Za_1a_2 + 2b_1b_2 \in \mathbb{Z} și a1b2+a2b1∈Za_1b_2 + a_2b_1 \in \mathbb{Z}, rezultă x⋅y∈Mx \cdot y \in M, deci operația este închisă.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea numerelor reale este asociativă, deci pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M, (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z)(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z).
32 puncte
Elementul neutru: 1=1+02∈M1 = 1 + 0\sqrt{2} \in M și pentru orice x∈Mx \in M, x⋅1=1⋅x=xx \cdot 1 = 1 \cdot x = x.
44 puncte
Inversul: pentru un element x=a+b2∈Mx = a + b\sqrt{2} \in M, inversul său în mulțimea numerelor reale este 1a+b2=a−b2a2−2b2\frac{1}{a + b\sqrt{2}} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2}. Pentru ca acesta să aparțină lui MM, este necesar ca aa2−2b2∈Z\frac{a}{a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Z} și −ba2−2b2∈Z\frac{-b}{a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Z}. În general, acest lucru nu este adevărat pentru toate a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}; de exemplu, pentru x=2=2+02x = 2 = 2 + 0\sqrt{2}, inversul este 12\frac{1}{2} care nu aparține lui MM. Prin urmare, nu toate elementele au invers în MM, deci (M,⋅)(M, \cdot) nu este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.