MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea H={z∈C∣∣z∣=1}H = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Demonstrați că (H,⋅)(H, \cdot) este un grup. Apoi, determinați elementele de ordin finit ale acestui grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice z1,z2∈Hz_1, z_2 \in H, avem ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1⋅1=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1 \cdot 1 = 1, deci z1⋅z2∈Hz_1 \cdot z_2 \in H.
22 puncte
Verificarea asociativității: înmulțirea numerelor complexe este asociativă, deci pentru orice z1,z2,z3∈Hz_1, z_2, z_3 \in H, (z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3).
32 puncte
Verificarea existenței elementului neutru: 1∈C1 \in \mathbb{C} cu ∣1∣=1|1| = 1, deci 1∈H1 \in H și pentru orice z∈Hz \in H, z⋅1=1⋅z=zz \cdot 1 = 1 \cdot z = z.
42 puncte
Verificarea existenței inverselor: pentru orice z∈Hz \in H, ∣z∣=1|z| = 1, deci inversul său z−1=1zz^{-1} = \frac{1}{z} există și ∣z−1∣=1∣z∣=1|z^{-1}| = \frac{1}{|z|} = 1, deci z−1∈Hz^{-1} \in H.
52 puncte
Determinarea elementelor de ordin finit: un element z∈Hz \in H are ordin finit dacă există n∈N∗n \in \mathbb{N}^* astfel încât zn=1z^n = 1. Deoarece z=eiθz = e^{i\theta} pentru un θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi), condiția devine einθ=1e^{in\theta} = 1, adică nθ=2kπn\theta = 2k\pi pentru un k∈Zk \in \mathbb{Z}. Astfel, elementele de ordin finit sunt rădăcinile de ordin nn ale unității, adică z=e2kπi/nz = e^{2k\pi i / n} pentru k=0,1,...,n−1k=0,1,...,n-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.