MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie inelul Z12\mathbb{Z}_{12} al numerelor întregi modulo 12. a) Arătați că Z12\mathbb{Z}_{12} este un inel comutativ cu unitate. b) Determinați elementele inversabile și divizorii lui zero în Z12\mathbb{Z}_{12}. c) Rezolvați în Z12\mathbb{Z}_{12} ecuația x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea axiomelor inelului pentru Z12\mathbb{Z}_{12}: adunarea și înmulțirea modulo 12 sunt operații interne, asociative, comutative; există element neutru pentru adunare (0) și pentru înmulțire (1); fiecare element are opus; proprietatea de distributivitate.
23 puncte
Elementele inversabile sunt acelea pentru care există un invers multiplicativ modulo 12, adică numerele aa cu gcd⁡(a,12)=1\gcd(a,12)=1: 1, 5, 7, 11. Divizorii lui zero sunt perechile de elemente nenule al căror produs este 0 modulo 12, de exemplu 2 și 6, 3 și 4, etc.
34 puncte
Ecuația x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0 se poate scrie (x−2)2=0(x-2)^2 = 0 modulo 12. Căutăm y=x−2y = x-2 astfel încât y2≡0mod  12y^2 \equiv 0 \mod 12. Numerele modulo 12 cu pătratul congruent cu 0 sunt 0 și 6. Deci y≡0mod  12y \equiv 0 \mod 12 sau y≡6mod  12y \equiv 6 \mod 12, adică x≡2mod  12x \equiv 2 \mod 12 sau x≡8mod  12x \equiv 8 \mod 12. Soluțiile sunt x=2x = 2 și x=8x = 8 în Z12\mathbb{Z}_{12}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.