MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorPrimitiveDerivate
Fie funcția f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} definită prin f(x)=∫0x1+t2dtf(x) = \int_0^x \sqrt{1+t^2} dt. Calculați ∫01f(x)dx\int_0^1 f(x) dx folosind proprietățile integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem integrala J=∫01f(x)dx=∫01(∫0x1+t2dt)dxJ = \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \left( \int_0^x \sqrt{1+t^2} dt \right) dx.
23 puncte
Aplicăm integrarea prin părți: considerăm u=f(x)u = f(x) și dv=dxdv = dx, deci du=f′(x)dx=1+x2dxdu = f'(x) dx = \sqrt{1+x^2} dx (prin teorema fundamentală a calculului integral) și v=xv = x. Atunci J=[xf(x)]01−∫01x1+x2dxJ = [x f(x)]_0^1 - \int_0^1 x \sqrt{1+x^2} dx.
33 puncte
Calculăm f(1)=∫011+t2dtf(1) = \int_0^1 \sqrt{1+t^2} dt. Pentru ∫011+t2dt\int_0^1 \sqrt{1+t^2} dt, folosim primitiva: ∫1+t2dt=t21+t2+12ln⁡(t+1+t2)+C\int \sqrt{1+t^2} dt = \frac{t}{2} \sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2} \ln(t + \sqrt{1+t^2}) + C, deci f(1)=[t21+t2+12ln⁡(t+1+t2)]01=122+12ln⁡(1+2)f(1) = \left[ \frac{t}{2} \sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2} \ln(t + \sqrt{1+t^2}) \right]_0^1 = \frac{1}{2} \sqrt{2} + \frac{1}{2} \ln(1+\sqrt{2}). Pentru ∫01x1+x2dx\int_0^1 x \sqrt{1+x^2} dx, facem substituția u=1+x2u = 1+x^2, du=2xdxdu = 2x dx, deci ∫01x1+x2dx=12∫12udu=12⋅23u3/2∣12=13(23/2−1)=13(22−1)\int_0^1 x \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int_1^2 \sqrt{u} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \big|_1^2 = \frac{1}{3} (2^{3/2} - 1) = \frac{1}{3} (2\sqrt{2} - 1).
42 puncte
Combinăm rezultatele: J=1⋅f(1)−0⋅f(0)−13(22−1)=122+12ln⁡(1+2)−13(22−1)J = 1 \cdot f(1) - 0 \cdot f(0) - \frac{1}{3} (2\sqrt{2} - 1) = \frac{1}{2} \sqrt{2} + \frac{1}{2} \ln(1+\sqrt{2}) - \frac{1}{3} (2\sqrt{2} - 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.