MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Considerați mulțimea U={z∈C∣∣z∣=1}U = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Demonstrați că (U,⋅)(U, \cdot) este un grup și determinați toate subgrupurile sale finite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Definirea mulțimii și operației. Mulțimea UU este formată din numere complexe de forma z=eiθz = e^{i\theta} cu θ∈R\theta \in \mathbb{R}, unde ∣z∣=a2+b2=1|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = 1 pentru z=a+biz = a+bi. Operația este înmulțirea obișnuită a numerelor complexe.
25 puncte
Verificarea axiomelor de grup. Închiderea: pentru z1=eiθ1z_1 = e^{i\theta_1} și z2=eiθ2z_2 = e^{i\theta_2}, z1⋅z2=ei(θ1+θ2)z_1 \cdot z_2 = e^{i(\theta_1 + \theta_2)} are modulul 1. Asociativitatea: înmulțirea complexă este asociativă. Element neutru: 1=ei0∈U1 = e^{i0} \in U. Inversul: pentru z=eiθz = e^{i\theta}, inversul este z−1=e−iθz^{-1} = e^{-i\theta}, care are modulul 1 și aparține lui UU.
33 puncte
Determinarea subgrupurilor finite. Subgrupurile finite ale lui UU sunt de forma {e2πik/n∣k=0,1,…,n−1}\{ e^{2\pi i k / n} \mid k = 0, 1, \dots, n-1 \} pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, adică mulțimea rădăcinilor de ordin nn ale unității, care formează un grup ciclic de ordin nn sub înmulțire.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.