MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Fie pp un număr prim. Arătați că mulțimea Zp={0,1,…,p−1}\mathbb{Z}_p = \{0, 1, \dots, p-1\} cu operațiile de adunare și înmulțire modulo pp formează un corp. Apoi, rezolvați în corpul Z7\mathbb{Z}_7 ecuația 3x+4=23x + 4 = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrați că Zp\mathbb{Z}_p este inel comutativ cu unitate: adunarea și înmulțirea modulo pp sunt bine definite și închise, asociative și comutative; elementul neutru la adunare este 00, la înmulțire este 11; pentru orice a∈Zpa \in \mathbb{Z}_p, opusul la adunare este p−amod  pp-a \mod p; înmulțirea este distributivă față de adunare.
23 puncte
Arătăm că Zp\mathbb{Z}_p este corp: pentru orice a∈Zp,a≠0a \in \mathbb{Z}_p, a \neq 0, deoarece pp este prim, gcd⁡(a,p)=1\gcd(a,p)=1, deci există b∈Zpb \in \mathbb{Z}_p astfel încât ab≡1mod  pab \equiv 1 \mod p (inversul multiplicativ), demonstrat folosind algoritmul lui Euclid sau teorema lui Bézout.
33 puncte
Rezolvarea ecuației 3x+4=23x + 4 = 2 în Z7\mathbb{Z}_7: scădem 4 din ambele părți modulo 7, obținem 3x≡2−4≡−2≡5mod  73x \equiv 2 - 4 \equiv -2 \equiv 5 \mod 7. Inversul lui 3 modulo 7 este 5 (deoarece 3×5=15≡1mod  73 \times 5 = 15 \equiv 1 \mod 7), deci înmulțim ecuația cu 5: x≡5×5=25≡4mod  7x \equiv 5 \times 5 = 25 \equiv 4 \mod 7. Soluția este x=4x = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.