MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Se știe că 1+i1+i este o rădăcină a polinomului și că P(1)=4P(1) = 4. Determinați coeficienții a,b,ca, b, c și scrieți polinomul în formă factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, conjugata 1−i1-i este de asemenea rădăcină. Notăm rădăcinile x1=1+ix_1 = 1+i, x2=1−ix_2 = 1-i, și x3x_3 reală.
23 puncte
Din condiția P(1)=4P(1)=4, avem 1+a+b+c=41 + a + b + c = 4, deci a+b+c=3a + b + c = 3.
32 puncte
Aplicăm relațiile lui Vietè: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x1x3+x2x3=bx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c.
42 puncte
Calculăm x1+x2=2x_1 + x_2 = 2 și x1x2=2x_1 x_2 = 2. Înlocuind în ecuațiile de la pasul 3 și folosind a+b+c=3a + b + c = 3, obținem un sistem: 2+x3=−a2 + x_3 = -a, 2+2x3=b2 + 2x_3 = b, 2x3=−c2x_3 = -c, și a+b+c=3a + b + c = 3. Rezolvând, găsim x3=−1x_3 = -1, a=−1a = -1, b=0b = 0, c=2c = 2. Polinomul factorizat este P(x)=(x−(1+i))(x−(1−i))(x+1)P(x) = (x - (1+i))(x - (1-i))(x + 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.