MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se dorește fabricarea unui cilindru circular drept cu volum fix V=1V=1 m3^3. Costul materialului pentru baze este 1010 lei/m2^2, iar pentru suprafața laterală este 55 lei/m2^2. Determinați raza rr și înălțimea hh ale cilindrului pentru care costul total de producție este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scrie volumul cilindrului: V=πr2h=1V = \pi r^2 h = 1, de unde h=1πr2h = \frac{1}{\pi r^2}.
23 puncte
Se exprimă costul total în funcție de rr: C(r)=2×πr2×10+2πrh×5=20πr2+10πrh=20πr2+10πr(1πr2)=20πr2+10rC(r) = 2 \times \pi r^2 \times 10 + 2 \pi r h \times 5 = 20 \pi r^2 + 10 \pi r h = 20 \pi r^2 + 10 \pi r \left( \frac{1}{\pi r^2} \right) = 20 \pi r^2 + \frac{10}{r}.
33 puncte
Se derivează C(r)C(r): C′(r)=40πr−10r2C'(r) = 40 \pi r - \frac{10}{r^2}. Se pune C′(r)=0C'(r)=0: 40πr=10r240 \pi r = \frac{10}{r^2}, deci 40πr3=1040 \pi r^3 = 10, r3=1040π=14πr^3 = \frac{10}{40 \pi} = \frac{1}{4\pi}, r=(14π)1/3r = \left( \frac{1}{4\pi} \right)^{1/3}. Apoi h=1πr2h = \frac{1}{\pi r^2}.
42 puncte
Se verifică că rr găsit este punct de minim, de exemplu prin studiul semnului derivatei sau derivata a doua: C′′(r)=40π+20r3>0C''(r) = 40 \pi + \frac{20}{r^3} > 0 pentru r>0r>0, deci este minim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.