MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că vârful parabolei asociate funcției este V(1,−2)V(1, -2) și că graficul trece prin punctul A(3,2)A(3, 2), determinați coeficienții a,b,ca, b, c și studiați semnul funcției pe intervalul [0,4][0,4].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din coordonatele vârfului, avem −b2a=1-\frac{b}{2a} = 1 și f(1)=a+b+c=−2f(1) = a + b + c = -2.
22 puncte
Din punctul A(3,2)A(3,2), avem f(3)=9a+3b+c=2f(3) = 9a + 3b + c = 2.
33 puncte
Rezolvăm sistemul. Din −b2a=1-\frac{b}{2a} = 1 obținem b=−2ab = -2a. Înlocuind în ecuațiile de la step 1 și 2, avem −a+c=−2-a + c = -2 și 3a+c=23a + c = 2. Scăzând prima din a doua, găsim 4a=44a = 4, deci a=1a = 1, apoi b=−2b = -2 și c=−1c = -1.
43 puncte
Funcția este f(x)=x2−2x−1f(x)=x^2 -2x -1. Rădăcinile se obțin din Δ=8\Delta = 8, deci x1,2=1±2x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2}. Pe intervalul [0,4][0,4], x2=1+2≈2.414∈(0,4)x_2 = 1+\sqrt{2} \approx 2.414 \in (0,4). Evaluăm: f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0, f(x2)=0f(x_2) = 0, f(4)=7>0f(4) = 7 > 0. Deci, f(x)<0f(x) < 0 pentru x∈[0,x2)x \in [0, x_2) și f(x)>0f(x) > 0 pentru x∈(x2,4]x \in (x_2, 4].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.