MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția polinomială f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1. Să se studieze monotonia, să se determine punctele de extrem local și să se discute convexitatea acestei funcții.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9. Se rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x) = 0, adică 3x2−12x+9=03x^2 - 12x + 9 = 0, împărțind la 3: x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0, cu rădăcinile x1=1x_1 = 1 și x2=3x_2 = 3.
24 puncte
Se studiază semnul derivatei întâi. f′(x)f'(x) este un polinom de gradul 2 cu coeficientul lui x2x^2 pozitiv, deci este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între rădăcini. Astfel: pe (−∞,1)(-\infty, 1), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare; pe (1,3)(1, 3), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este descrescătoare; pe (3,∞)(3, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare. Punctele critice sunt x=1x=1 și x=3x=3. La x=1x=1, funcția trece de la crescătoare la descrescătoare, deci este punct de maxim local. La x=3x=3, trece de la descrescătoare la crescătoare, deci este punct de minim local.
33 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0, adică 6x−12=06x - 12 = 0, deci x=2x = 2. Pe (−∞,2)(-\infty, 2), f′′(x)<0f''(x) < 0, deci funcția este concavă; pe (2,∞)(2, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0, deci funcția este convexă. Punctul x=2x=2 este punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.