MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeLegi de compoziție
Considerați mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. Fie S={a+bi∣a,b∈Q}S = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}, unde Q\mathbb{Q} este mulțimea numerelor raționale. Demonstrați că SS este un subcorp al corpului C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea mulțimii SS față de adunare. Pentru orice z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b_1 i și z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b_2 i din SS, suma z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)iz_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i are coeficienții raționali, deci aparține lui SS.
22 puncte
Se verifică închiderea față de înmulțire. z1⋅z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)iz_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i, și deoarece Q\mathbb{Q} este închisă la adunare, scădere și înmulțire, coeficienții sunt raționali, deci z1⋅z2∈Sz_1 \cdot z_2 \in S.
32 puncte
Se arată existența inversei aditive. Pentru z=a+bi∈Sz = a + bi \in S, inversa aditivă este −a−bi∈S-a - bi \in S, deoarece a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q} implică −a,−b∈Q-a, -b \in \mathbb{Q}.
43 puncte
Se arată existența inversei multiplicative pentru elemente nenule. Pentru z=a+bi≠0z = a + bi \neq 0 din SS, inversa multiplicativă este aa2+b2−ba2+b2i\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2} i. Deoarece a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q} și a2+b2∈Q∖{0}a^2 + b^2 \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}, coeficienții sunt raționali, deci inversa aparține lui SS.
51 punct
Concluzie: SS satisface axiomele unui corp, deci este un subcorp al lui C\mathbb{C}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.