MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡3(y)=2x⋅y=12\begin{cases} \log_2(x) + \log_3(y) = 2 \\ x \cdot y = 12 \end{cases}, unde x,y>0x, y > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Se identifică condițiile x>0x > 0 și y>0y > 0.
23 puncte
Se notează a=log⁡2(x)a = \log_2(x) și b=log⁡3(y)b = \log_3(y). Atunci a+b=2a + b = 2 și x=2ax = 2^a, y=3by = 3^b, deci 2a⋅3b=122^a \cdot 3^b = 12.
32 puncte
Din a+b=2a + b = 2, se exprimă b=2−ab = 2 - a și se înlocuiește în 2a⋅3b=122^a \cdot 3^b = 12, obținând 2a⋅32−a=122^a \cdot 3^{2-a} = 12.
42 puncte
Se simplifică: 2a⋅32/3a=12⇒(2/3)a⋅9=12⇒(2/3)a=12/9=4/32^a \cdot 3^2 / 3^a = 12 \Rightarrow (2/3)^a \cdot 9 = 12 \Rightarrow (2/3)^a = 12/9 = 4/3.
52 puncte
Se rezolvă pentru aa: a=log⁡2/3(4/3)a = \log_{2/3}(4/3). Apoi b=2−ab = 2 - a, iar x=2ax = 2^a, y=3by = 3^b.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.