MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteStudiul funcțiilor
a) Demonstrați că dacă f:[−a,a]→Rf: [-a,a] \to \mathbb{R} este o funcție continuă impară, atunci ∫−aaf(x)dx=0\int_{-a}^a f(x) dx = 0. b) Calculați integrala definită I=∫−22x6+3x4+2x2+11+x2dxI = \int_{-2}^2 \frac{x^6 + 3x^4 + 2x^2 + 1}{1+x^2} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
14 puncte
Folosim schimbarea de variabilă x=−tx = -t. Atunci ∫−aaf(x)dx=∫a−af(−t)(−dt)=∫a−a−f(t)(−dt)=∫a−af(t)dt=−∫−aaf(t)dt\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{a}^{-a} f(-t) (-dt) = \int_{a}^{-a} -f(t) (-dt) = \int_{a}^{-a} f(t) dt = -\int_{-a}^a f(t) dt. Notând I=∫−aaf(x)dxI = \int_{-a}^a f(x) dx, avem I=−II = -I, deci 2I=02I=0 și I=0I=0.
22 puncte
Observăm că funcția g(x)=x6+3x4+2x2+11+x2g(x) = \frac{x^6 + 3x^4 + 2x^2 + 1}{1+x^2} verifică g(−x)=g(x)g(-x) = g(x), deci este pară. Atunci I=∫−22g(x)dx=2∫02g(x)dxI = \int_{-2}^2 g(x) dx = 2 \int_0^2 g(x) dx.
32 puncte
Efectuăm împărțirea: x6+3x4+2x2+11+x2=x4+2x2+11+x2\frac{x^6 + 3x^4 + 2x^2 + 1}{1+x^2} = x^4 + 2x^2 + \frac{1}{1+x^2}.
42 puncte
Calculăm ∫02(x4+2x2+11+x2)dx=325+163+arctan⁡2\int_0^2 (x^4 + 2x^2 + \frac{1}{1+x^2}) dx = \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + \arctan 2.
50 puncte
Deci I=2(325+163+arctan⁡2)=645+323+2arctan⁡2I = 2 \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + \arctan 2 \right) = \frac{64}{5} + \frac{32}{3} + 2\arctan 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.