MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Geometrice
Se consideră polinomul P(X)=X3+mX2+nX+pP(X) = X^3 + mX^2 + nX + p, cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale sunt în progresie geometrică, că P(1)=0P(1)=0 și că suma rădăcinilor este 6, să se determine coeficienții m,n,pm, n, p și să se afle rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Notăm rădăcinile polinomului cu a,b,ca, b, c și folosim condiția de progresie geometrică: b2=acb^2 = a c.
21 punct
Aplicăm relațiile Viete: a+b+c=−ma+b+c = -m, ab+ac+bc=nab+ac+bc = n, abc=−pabc = -p.
32 puncte
Din enunț, avem a+b+c=6a+b+c=6, deci −m=6⇒m=−6-m=6 \Rightarrow m=-6. De asemenea, P(1)=0⇒1+m+n+p=0⇒1−6+n+p=0⇒n+p=5P(1)=0 \Rightarrow 1+m+n+p=0 \Rightarrow 1-6+n+p=0 \Rightarrow n+p=5.
42 puncte
Notăm rația progresiei geometrice cu rr, deci a=bra = \frac{b}{r}, c=brc = b r. Atunci a+b+c=b(1r+1+r)=6a+b+c = b \left( \frac{1}{r} + 1 + r \right) = 6 și abc=b3=−pabc = b^3 = -p.
52 puncte
Din b(1r+1+r)=6b \left( \frac{1}{r} + 1 + r \right) = 6, exprimăm 1r+1+r=6b\frac{1}{r} + 1 + r = \frac{6}{b}. Folosind n=b2(1r+1+r)n = b^2 \left( \frac{1}{r} + 1 + r \right) și n=5−p=5+b3n=5-p=5+b^3, obținem b2⋅6b=5+b3⇒6b=5+b3⇒b3−6b+5=0b^2 \cdot \frac{6}{b} = 5 + b^3 \Rightarrow 6b = 5+b^3 \Rightarrow b^3 -6b+5=0. Rezolvăm: b=1b=1 este rădăcină, iar ecuația devine (b−1)(b2+b−5)=0(b-1)(b^2+b-5)=0, deci b=1b=1 sau b=−1±212b=\frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}.
62 puncte
Pentru b=1b=1, din b(1r+1+r)=6b \left( \frac{1}{r} + 1 + r \right)=6 obținem 1r+1+r=6⇒r2−5r+1=0⇒r=5±212\frac{1}{r} + 1 + r =6 \Rightarrow r^2 -5r+1=0 \Rightarrow r= \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}. Atunci a=1ra=\frac{1}{r}, c=rc=r, iar m=−6m=-6, n=b2(1r+1+r)=1⋅6=6n= b^2 \left( \frac{1}{r} + 1 + r \right)=1 \cdot 6=6, și p=−b3=−1p= -b^3 = -1. Deci polinomul este P(X)=X3−6X2+6X−1P(X)=X^3 -6X^2+6X-1, cu rădăcinile a,b,ca, b, c calculate. Pentru celelalte valori ale lui bb, se procedează similar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.