MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡2(y)=5x−y=8\begin{cases} \log_2(x) + \log_2(y) = 5 \\ x - y = 8 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm proprietatea logaritmilor: log⁡2(x)+log⁡2(y)=log⁡2(xy)\log_2(x) + \log_2(y) = \log_2(xy), deci log⁡2(xy)=5\log_2(xy) = 5 și xy=25=32xy = 2^5 = 32.
23 puncte
Sistemul devine {xy=32x−y=8\begin{cases} xy = 32 \\ x - y = 8 \end{cases}. Exprimăm x=y+8x = y + 8 din a doua ecuație.
32 puncte
Înlocuim în prima ecuație: (y+8)y=32(y+8)y = 32, adică y2+8y−32=0y^2 + 8y - 32 = 0. Rezolvăm: y=−8±64+1282=−8±1922=−8±832=−4±43y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 128}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{3}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{3}.
42 puncte
Verificăm condițiile de existență: x>0x > 0 și y>0y > 0. y=−4+43>0y = -4 + 4\sqrt{3} > 0 deoarece 43≈6.92>44\sqrt{3} \approx 6.92 > 4, iar y=−4−43<0y = -4 - 4\sqrt{3} < 0. Pentru y=−4+43y = -4 + 4\sqrt{3}, x=y+8=4+43>0x = y + 8 = 4 + 4\sqrt{3} > 0. Soluția este x=4+43x = 4 + 4\sqrt{3}, y=−4+43y = -4 + 4\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.