MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \} cu operația de înmulțire a matricelor. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. Apoi, considerați submulțimea H={A∈G∣A=(ab0a−1),a∈R∗}H = \{ A \in G \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R}^* \}. Demonstrați că HH este un subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Înmulțirea matricelor este asociativă, deci operația este asociativă pe GG.
22 puncte
Matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} are determinant 1, deci I2∈GI_2 \in G și A⋅I2=I2⋅A=AA \cdot I_2 = I_2 \cdot A = A pentru orice A∈GA \in G.
32 puncte
Pentru orice A∈GA \in G, det⁡(A)=1\det(A) = 1, deci AA este inversabilă și A−1A^{-1} are determinant 1, deci A−1∈GA^{-1} \in G și A⋅A−1=A−1⋅A=I2A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_2.
41 punct
HH este nevidă deoarece I2∈HI_2 \in H pentru a=1,b=0a=1, b=0.
52 puncte
Fie A,B∈HA, B \in H cu A=(ab0a−1)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} și B=(cd0c−1)B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c^{-1} \end{pmatrix}. Atunci AB=(acad+bc−10a−1c−1)=(acad+bc−10(ac)−1)AB = \begin{pmatrix} ac & ad + bc^{-1} \\ 0 & a^{-1}c^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac & ad + bc^{-1} \\ 0 & (ac)^{-1} \end{pmatrix}, deci AB∈HAB \in H.
61 punct
Pentru A∈HA \in H, inversa sa este A−1=(a−1−b0a)A^{-1} = \begin{pmatrix} a^{-1} & -b \\ 0 & a \end{pmatrix}, care este în HH.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.