MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie M={A(a,b)=(ab−ba)∣a,b∈R,(a,b)≠(0,0)}M = \left\{ A(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, (a,b) \neq (0,0) \right\}. Se consideră înmulțirea matricelor. a) Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup. b) Determinați ordinul elementului A(1,0)A(1,0) în acest grup.

Rezolvare completă

15 puncte · 5 pași
a)5 puncte
13 puncte
Verificarea închiderii: pentru A(a,b),A(c,d)∈MA(a,b), A(c,d) \in M, A(a,b)⋅A(c,d)=(ab−ba)(cd−dc)=(ac−bdad+bc−bc−ad−bd+ac)=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)A(a,b) \cdot A(c,d) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd & ad + bc \\ -bc - ad & -bd + ac \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd & ad + bc \\ -(ad+bc) & ac - bd \end{pmatrix}. Notăm u=ac−bdu = ac - bd, v=ad+bcv = ad + bc. Atunci A(a,b)⋅A(c,d)=A(u,v)∈MA(a,b) \cdot A(c,d) = A(u,v) \in M deoarece (u,v)≠(0,0)(u,v) \neq (0,0) dacă (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0) și (c,d)≠(0,0)(c,d) \neq (0,0) (determinantul este a2+b2>0a^2 + b^2 > 0 și similar).\n
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă.\n
b)5 puncte
32 puncte
Elementul neutru: A(1,0)=(1001)∈MA(1,0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M și pentru orice A(a,b)∈MA(a,b) \in M, A(a,b)⋅A(1,0)=A(1,0)⋅A(a,b)=A(a,b)A(a,b) \cdot A(1,0) = A(1,0) \cdot A(a,b) = A(a,b).\n
43 puncte
Elementul simetric: pentru A(a,b)∈MA(a,b) \in M, determinantul este det⁡(A(a,b))=a2+b2>0\det(A(a,b)) = a^2 + b^2 > 0. Inversa este A(a,b)−1=1a2+b2(a−bba)=A(aa2+b2,−ba2+b2)∈MA(a,b)^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = A\left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right) \in M deoarece coeficienții sunt reali și nu ambii zero.\n
c)5 puncte
55 puncte
Ordinul lui A(1,0)A(1,0): A(1,0)A(1,0) este matricea identitate, deci A(1,0)n=A(1,0)A(1,0)^n = A(1,0) pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Ordinul este 1, deoarece este elementul neutru. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.