MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Fie f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c un polinom de gradul al II-lea. Știind că ∫01f(x)dx=1\int_0^1 f(x)dx = 1, ∫12f(x)dx=4\int_1^2 f(x)dx = 4, și ∫23f(x)dx=9\int_2^3 f(x)dx = 9, determinați coeficienții aa, bb, și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm integralele definite în funcție de coeficienți: ∫01f(x)dx=a3+b2+c=1\int_0^1 f(x)dx = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 1 ∫12f(x)dx=7a3+3b2+c=4\int_1^2 f(x)dx = \frac{7a}{3} + \frac{3b}{2} + c = 4 ∫23f(x)dx=19a3+5b2+c=9\int_2^3 f(x)dx = \frac{19a}{3} + \frac{5b}{2} + c = 9
23 puncte
Formăm sistemul de ecuații și scădem pentru a elimina cc: Scăzând prima ecuație din a doua: 2a+b=32a + b = 3 Scăzând a doua ecuație din a treia: 4a+b=54a + b = 5
33 puncte
Rezolvăm sistemul: Din 4a+b=54a + b = 5 și 2a+b=32a + b = 3, scăzând, obținem 2a=22a = 2, deci a=1a=1. Înlocuind în 2a+b=32a + b = 3, avem 2⋅1+b=32 \cdot 1 + b = 3, deci b=1b=1. Înlocuind în a3+b2+c=1\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 1, avem 13+12+c=1\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + c = 1, deci c=1−56=16c = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.