MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={x∈R∣x>−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} și operația ∗\ast definită prin x∗y=x+y+xyx \ast y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx,y \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, \ast) este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Gx,y \in G, avem x>−1x > -1 și y>−1y > -1. Atunci x∗y=x+y+xyx \ast y = x + y + xy. Calculăm x∗y+1=(x+1)(y+1)>0x \ast y + 1 = (x+1)(y+1) > 0, deci x∗y>−1x \ast y > -1, așadar x∗y∈Gx \ast y \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx,y,z \in G, avem (x∗y)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x \ast y) \ast z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyz=x+y+z+xy+xz+yz+xyzx \ast (y \ast z) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz = x + y + z + xy + xz + yz + xyz. Deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru. Fie e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx \ast e = x pentru orice x∈Gx \in G. Atunci x+e+xe=x  ⟹  e(1+x)=0  ⟹  e=0x + e + xe = x \implies e(1+x) = 0 \implies e = 0 (deoarece x>−1x > -1 implică 1+x≠01+x \neq 0). Verificăm: 0∈G0 \in G deoarece 0>−10 > -1, și x∗0=x+0+x⋅0=xx \ast 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x, deci 00 este elementul neutru.
42 puncte
Căutăm inversul. Pentru x∈Gx \in G, fie x′∈Gx' \in G astfel încât x∗x′=0x \ast x' = 0. Atunci x+x′+xx′=0  ⟹  x′(1+x)=−x  ⟹  x′=−x1+xx + x' + xx' = 0 \implies x'(1+x) = -x \implies x' = \frac{-x}{1+x}. Deoarece x>−1x > -1, avem 1+x>01+x > 0, și x′+1=−x1+x+1=11+x>0x' + 1 = \frac{-x}{1+x} + 1 = \frac{1}{1+x} > 0, deci x′>−1x' > -1, așadar x′∈Gx' \in G. Astfel, inversul lui xx este x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x}.
51 punct
Concluzie: (G,∗)(G, \ast) satisface toate axiomele unui grup (închidere, asociativitate, element neutru, invers), deci este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.