MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriTeoria Mulțimilor
Se consideră inelul Z6\mathbb{Z}_6 al claselor de resturi modulo 6. Determinați toți divizorii lui zero și toate elementele inversabile din acest inel. Arătați că Z6\mathbb{Z}_6 nu este un corp. Pentru ce valori ale lui nn este Zn\mathbb{Z}_n un corp? Argumentați.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Divizorii lui zero în Z6\mathbb{Z}_6 sunt clasele aˉ\bar{a} cu a∈{0,1,2,3,4,5}a \in \{0,1,2,3,4,5\} pentru care există bˉ≠0ˉ\bar{b} \neq \bar{0} astfel încât aˉ⋅bˉ=0ˉ\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{0}. Se testează: 2ˉ⋅3ˉ=6ˉ=0ˉ\bar{2} \cdot \bar{3} = \bar{6} = \bar{0}, 3ˉ⋅2ˉ=0ˉ\bar{3} \cdot \bar{2} = \bar{0}, 4ˉ⋅3ˉ=12ˉ=0ˉ\bar{4} \cdot \bar{3} = \bar{12} = \bar{0}. Astfel, divizorii lui zero sunt 2ˉ\bar{2}, 3ˉ\bar{3} și 4ˉ\bar{4} (observăm că 0ˉ\bar{0} este divizor al lui zero prin definiție, dar de obicei se exclud elementul zero).
23 puncte
Elementele inversabile în Z6\mathbb{Z}_6 sunt clasele aˉ\bar{a} pentru care există bˉ\bar{b} cu aˉ⋅bˉ=1ˉ\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}, adică gcd⁡(a,6)=1\gcd(a,6)=1. Acestea sunt 1ˉ\bar{1} (cu 1ˉ⋅1ˉ=1ˉ\bar{1} \cdot \bar{1} = \bar{1}) și 5ˉ\bar{5} (cu 5ˉ⋅5ˉ=25ˉ=1ˉ\bar{5} \cdot \bar{5} = \bar{25} = \bar{1} deoarece 25≡1(mod6)25 \equiv 1 \pmod{6}).
32 puncte
Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp deoarece are divizori ai lui zero (e.g., 2ˉ⋅3ˉ=0ˉ\bar{2} \cdot \bar{3} = \bar{0} cu 2ˉ,3ˉ≠0ˉ\bar{2}, \bar{3} \neq \bar{0}), iar într-un corp toate elementele nenule sunt inversabile și nu există divizori ai lui zero.
42 puncte
Zn\mathbb{Z}_n este corp dacă și numai dacă nn este număr prim. Justificare: dacă nn este prim, atunci pentru orice aa cu 1≤a≤n−11 \le a \le n-1, gcd⁡(a,n)=1\gcd(a,n)=1, deci toate elementele nenule sunt inversabile; dacă nn este compus, există a,ba,b cu 1<a,b<n1 < a,b < n astfel încât ab=nab = n, deci aˉ⋅bˉ=0ˉ\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{0} cu aˉ,bˉ≠0ˉ\bar{a}, \bar{b} \neq \bar{0}, adică există divizori ai lui zero, deci Zn\mathbb{Z}_n nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.