MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorArii și volume
Se consideră funcția f:[0,3]→Rf: [0,3] \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2,daca˘ 0≤x≤12x−1,daca˘ 1<x≤25−x,daca˘ 2<x≤3f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{dacă } 0 \leq x \leq 1 \\ 2x - 1, & \text{dacă } 1 < x \leq 2 \\ 5 - x, & \text{dacă } 2 < x \leq 3 \end{cases}. Calculați aria regiunii mărginite de graficul lui ff, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=3x=3, utilizând proprietățile integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aria este dată de integrala definită A=∫03f(x)dxA = \int_{0}^{3} f(x) dx.
24 puncte
Folosim proprietatea de aditivitate: ∫03f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx+∫23f(x)dx\int_{0}^{3} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx.
33 puncte
Calculăm fiecare integrală: ∫01x2dx=[x33]01=13\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}, ∫12(2x−1)dx=[x2−x]12=(4−2)−(1−1)=2\int_{1}^{2} (2x-1) dx = \left[ x^2 - x \right]_1^2 = (4-2) - (1-1) = 2, ∫23(5−x)dx=[5x−x22]23=(15−92)−(10−42)=(15−4.5)−(10−2)=10.5−8=2.5=52\int_{2}^{3} (5-x) dx = \left[ 5x - \frac{x^2}{2} \right]_2^3 = (15 - \frac{9}{2}) - (10 - \frac{4}{2}) = (15 - 4.5) - (10 - 2) = 10.5 - 8 = 2.5 = \frac{5}{2}. Deci A=13+2+52=13+42+52=13+92=26+276=296A = \frac{1}{3} + 2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{3} + \frac{4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{1}{3} + \frac{9}{2} = \frac{2}{6} + \frac{27}{6} = \frac{29}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.