MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2−4x+3)=log⁡1/2(x−1)\log_2(x^2 - 4x + 3) = \log_{1/2}(x-1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0 și x−1>0x-1 > 0. Factorizând, x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3), deci (x−1)(x−3)>0(x-1)(x-3) > 0 și x>1x>1. Cum x>1x>1, pentru (x−1)(x−3)>0(x-1)(x-3) > 0 trebuie x>3x>3. Deci domeniul este x>3x > 3.
22 puncte
Transformarea logaritmului cu baza 1/21/2: log⁡1/2(x−1)=log⁡2(x−1)log⁡2(1/2)=log⁡2(x−1)−1=−log⁡2(x−1)\log_{1/2}(x-1) = \frac{\log_2(x-1)}{\log_2(1/2)} = \frac{\log_2(x-1)}{-1} = -\log_2(x-1).
33 puncte
Ecuația devine log⁡2(x2−4x+3)=−log⁡2(x−1)\log_2(x^2 - 4x + 3) = -\log_2(x-1), adică log⁡2(x2−4x+3)+log⁡2(x−1)=0\log_2(x^2 - 4x + 3) + \log_2(x-1) = 0. Aplicând proprietățile, log⁡2[(x2−4x+3)(x−1)]=0\log_2[(x^2 - 4x + 3)(x-1)] = 0, deci (x2−4x+3)(x−1)=20=1(x^2 - 4x + 3)(x-1) = 2^0 = 1.
43 puncte
Rezolvarea ecuației algebrice: (x2−4x+3)(x−1)=1⇒(x−1)(x−3)(x−1)=1⇒(x−1)2(x−3)=1(x^2 - 4x + 3)(x-1) = 1 \Rightarrow (x-1)(x-3)(x-1) = 1 \Rightarrow (x-1)^2 (x-3) = 1. Se rezolvă această ecuație și se verifică că soluțiile sunt în domeniul x>3x > 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.