MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIdentități algebrice
Demonstrați identitatea algebrică: a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca). Apoi, pentru polinomul P(x)=x3−3x2+4P(x) = x^3 - 3x^2 + 4, determinați rădăcinile și calculați suma cuburilor acestora folosind identitatea.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrație: Dezvoltăm (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=a(a2−ab−ca)+b(b2−ab−bc)+c(c2−bc−ca)+(a+b+c)(−ab−bc−ca)=a3−a2b−a2c+b3−ab2−b2c+c3−bc2−c2a−(a+b+c)(ab+bc+ca)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) = a(a^2 - ab - ca) + b(b^2 - ab - bc) + c(c^2 - bc - ca) + (a+b+c)(-ab - bc - ca) = a^3 - a^2b - a^2c + b^3 - ab^2 - b^2c + c^3 - bc^2 - c^2a - (a+b+c)(ab+bc+ca). Regrupând termenii, obținem a3+b3+c3−3abca^3+b^3+c^3 - 3abc.\n
23 puncte
Pentru P(x)=x3−3x2+4P(x) = x^3 - 3x^2 + 4, verificăm că P(2)=0P(2)=0, deci x=2x=2 este rădăcină. Efectuăm împărțirea P(x):(x−2)P(x) : (x-2) și obținem x2−x−2x^2 - x - 2, cu rădăcinile x=2x=2 și x=−1x=-1. Astfel, rădăcinile polinomului sunt a=2a=2, b=2b=2, c=−1c=-1 (cu 22 rădăcină dublă).\n
33 puncte
Calculăm a3+b3+c3a^3+b^3+c^3 folosind identitatea: a+b+c=3a+b+c=3, ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0, abc=−4abc=-4, a2+b2+c2=9a^2+b^2+c^2=9. Atunci a3+b3+c3=3abc+(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=3(−4)+3(9−0)=−12+27=15a^3+b^3+c^3 = 3abc + (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) = 3(-4) + 3(9-0) = -12 + 27 = 15.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.