MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameAplicații ale derivatelor
Fie polinomul P(x)=x3−6x2+11x−6P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Determinați punctele de extrem local ale funcției f(x)=P(x)e−xf(x) = P(x)e^{-x} și studiați monotonia ei pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata f′(x)f'(x) folosind regula produsului: f′(x)=P′(x)e−x−P(x)e−x=e−x(P′(x)−P(x))f'(x) = P'(x)e^{-x} - P(x)e^{-x} = e^{-x}(P'(x) - P(x)).
24 puncte
Calculăm P′(x)=3x2−12x+11P'(x) = 3x^2 - 12x + 11, apoi P′(x)−P(x)=(3x2−12x+11)−(x3−6x2+11x−6)=−x3+9x2−23x+17P'(x) - P(x) = (3x^2 - 12x + 11) - (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = -x^3 + 9x^2 - 23x + 17. Rezolvăm ecuația f′(x)=0f'(x) = 0, adică −x3+9x2−23x+17=0-x^3 + 9x^2 - 23x + 17 = 0. Observăm că x=1x=1 este rădăcină, deci factorizăm: −(x−1)(x2−8x+17)=0-(x-1)(x^2 - 8x + 17) = 0. Rădăcinile sunt x=1x=1 și x=4±ix = 4 \pm i, dar deoarece ff este reală, singura rădăcină reală este x=1x=1.
33 puncte
Studiul semnului lui f′(x)f'(x): f′(x)=−e−x(x−1)(x2−8x+17)f'(x) = -e^{-x}(x-1)(x^2 - 8x + 17). Deoarece e−x>0e^{-x} > 0 și x2−8x+17>0x^2 - 8x + 17 > 0 pentru orice xx real (discriminant negativ), semnul lui f′(x)f'(x) depinde de −(x−1)-(x-1). Astfel, f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<1x < 1 și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>1x > 1. Deci ff este crescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1] și descrescătoare pe [1,∞)[1, \infty), cu punct de maxim local în x=1x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.