MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceNumere Complexe
Se consideră polinomul P(X)=X3−12X2+kX−64P(X) = X^3 - 12X^2 + kX - 64. Determinați valoarea lui kk pentru care rădăcinile polinomului sunt în progresie geometrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie rădăcinile polinomului rr, rqrq, rq2rq^2 în progresie geometrică. Din formulele lui Viète, suma rădăcinilor este r+rq+rq2=12r + rq + rq^2 = 12.
23 puncte
Produsul rădăcinilor este r⋅rq⋅rq2=r3q3=64r \cdot rq \cdot rq^2 = r^3 q^3 = 64, deci rq=4rq = 4.
32 puncte
Înlocuind rq=4rq = 4 în suma, obținem r+4+rq2=12r + 4 + rq^2 = 12, deci r+rq2=8r + rq^2 = 8. Exprimând rq2=4qrq^2 = 4q și r=4qr = \frac{4}{q}, avem 4q+4q=8\frac{4}{q} + 4q = 8.
42 puncte
Rezolvăm ecuația 4q+4q=8\frac{4}{q} + 4q = 8 înmulțind cu qq: 4+4q2=8q4 + 4q^2 = 8q, deci 4q2−8q+4=04q^2 - 8q + 4 = 0, q2−2q+1=0q^2 - 2q + 1 = 0, (q−1)2=0(q-1)^2=0, deci q=1q=1. Atunci r=4r=4, iar rădăcinile sunt 4,4,44,4,4. Coeficientul kk este suma produselor perechi ale rădăcinilor, deci k=4⋅4+4⋅4+4⋅4=48k = 4\cdot4 + 4\cdot4 + 4\cdot4 = 48.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.