MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăDerivateStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100, iar prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul companiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definirea funcției profitului. Profitul P(x)P(x) este venitul minus costul. Venitul R(x)=x⋅p(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2. Deci P(x)=R(x)−C(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+15x+100)=−0.1x3+1.5x2+35x−100P(x) = R(x) - C(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 35x - 100.
23 puncte
Găsirea derivatei și a punctelor critice. P′(x)=−0.3x2+3x+35P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 35. Se rezolvă P′(x)=0P'(x) = 0, adică −0.3x2+3x+35=0-0.3x^2 + 3x + 35 = 0. Înmulțind cu 10: −3x2+30x+350=0-3x^2 + 30x + 350 = 0, sau 3x2−30x−350=03x^2 - 30x - 350 = 0. Discriminantul Δ=900+4200=5100\Delta = 900 + 4200 = 5100, deci Δ=1051\sqrt{\Delta} = 10\sqrt{51}. Soluțiile: x=30±10516=5±5513x = \frac{30 \pm 10\sqrt{51}}{6} = 5 \pm \frac{5\sqrt{51}}{3}. Deoarece xx trebuie să fie pozitiv, considerăm x=5+5513x = 5 + \frac{5\sqrt{51}}{3} (aproximativ 16.83). Cealaltă soluție este negativă.
33 puncte
Verificarea maximului. A doua derivată: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru x=5+5513x = 5 + \frac{5\sqrt{51}}{3}, P′′(x)<0P''(x) < 0 deoarece −0.6(5+5513)+3-0.6(5 + \frac{5\sqrt{51}}{3}) + 3 este negativ. Astfel, profitul este maxim.
42 puncte
Interpretare. Cantitatea care maximizează profitul este x=5+5513x = 5 + \frac{5\sqrt{51}}{3} unități. Se poate aproxima numeric dacă este necesar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.