MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiMatematică financiară
Pentru un împrumut bancar, suma restantă S(t)S(t) (în mii de lei) după tt ani este dată de S(t)=S0(1+r)t−R(1+r)t−1rS(t) = S_0 (1 + r)^t - R \frac{(1 + r)^t - 1}{r}, unde S0=10S_0 = 10 este suma inițială, r=0.08r = 0.08 este rata anuală a dobânzii, iar R=2R = 2 este plata anuală constantă. Determinați timpul tt (în ani, număr real) după care suma restantă se înjumătățește față de suma inițială, folosind logaritmi în baza 10 sau naturali.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea ecuației pentru înjumătățirea sumei restante: S(t)=S02=5S(t) = \frac{S_0}{2} = 5, deci 10⋅(1.08)t−2⋅(1.08)t−10.08=510 \cdot (1.08)^t - 2 \cdot \frac{(1.08)^t - 1}{0.08} = 5.
23 puncte
Simplificarea ecuației: 10⋅(1.08)t−25⋅((1.08)t−1)=510 \cdot (1.08)^t - 25 \cdot ((1.08)^t - 1) = 5, care devine −15⋅(1.08)t+25=5-15 \cdot (1.08)^t + 25 = 5, adică (1.08)t=43(1.08)^t = \frac{4}{3}.
32 puncte
Aplicarea logaritmilor: t⋅log⁡(1.08)=log⁡(43)t \cdot \log(1.08) = \log\left(\frac{4}{3}\right), deci t=log⁡(4/3)log⁡(1.08)t = \frac{\log(4/3)}{\log(1.08)}.
42 puncte
Calculul aproximativ sau simplificarea expresiei: t≈ln⁡(4/3)ln⁡(1.08)≈3.74t \approx \frac{\ln(4/3)}{\ln(1.08)} \approx 3.74 ani, cu mențiunea că rezultatul este real și poate fi exprimat exact folosind logaritmi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.