MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c. Știind că f(x)≥2x−3f(x) \geq 2x - 3 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, egalitatea având loc pentru x=1x=1, și că f(0)=1f(0)=1, determinați coeficienții aa, bb, cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Considerăm funcția g(x)=f(x)−(2x−3)=ax2+(b−2)x+(c+3)g(x) = f(x) - (2x-3) = ax^2 + (b-2)x + (c+3). Condiția f(x)≥2x−3f(x) \geq 2x-3 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} implică g(x)≥0g(x) \geq 0 pentru orice xx, deci a>0a>0 și discriminantul lui gg este Δg=(b−2)2−4a(c+3)≤0\Delta_g = (b-2)^2 - 4a(c+3) \leq 0.
23 puncte
Egalitatea f(x)=2x−3f(x) = 2x-3 are loc pentru x=1x=1, deci g(1)=0g(1)=0. Aceasta înseamnă că x=1x=1 este punct de minim pentru gg, deci g(x)=a(x−1)2g(x) = a(x-1)^2.
32 puncte
Dezvoltăm a(x−1)2=ax2−2ax+aa(x-1)^2 = ax^2 - 2a x + a. Comparând cu g(x)=ax2+(b−2)x+(c+3)g(x) = ax^2 + (b-2)x + (c+3), obținem b−2=−2a⇒b=2−2ab-2 = -2a \Rightarrow b = 2-2a și c+3=a⇒c=a−3c+3 = a \Rightarrow c = a-3.
42 puncte
Din f(0)=1f(0)=1, avem c=1c=1. Atunci a−3=1⇒a=4a-3=1 \Rightarrow a=4. Înlocuind, b=2−2⋅4=−6b=2-2\cdot4= -6, iar c=1c=1. Verificăm: a=4>0a=4>0, iar g(x)=4x2−8x+4=4(x−1)2≥0g(x)=4x^2-8x+4=4(x-1)^2 \geq 0, cu g(1)=0g(1)=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.