Probleme de nivel mediu de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Clasa a 9-a • 92 probleme de nivel mediu

Ușor (119)Greu (1)Toate
Mediu#1Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul IStudiul funcțiilor
Gasiti toti parametrii reali a pentru care ecuatia a3+a2∣a+x∣+∣a2x+1∣=1a^3 + a^2 |a + x| + |a^2 x + 1| = 1 are cel putin patru solutii intregi distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notam f(x)=a3+a2∣a+x∣+∣a2x+1∣−1f(x) = a^3 + a^2|a + x| + |a^2 x + 1| - 1. Punctele de schimbare a expresiilor cu modul sunt x=−ax = -a si x=−1a2x = -\frac{1}{a^2} (pentru a≠0a \neq 0). Intre aceste puncte functia este liniara. Pentru a avea cel putin patru solutii intregi, f(x)f(x) trebuie sa fie identic zero pe un interval.
23 puncte
Consideram cazul in care a+x≤0a + x \le 0 si a2x+1≥0a^2 x + 1 \ge 0, adica x≤−ax \le -a si x≥−1a2x \ge -\frac{1}{a^2}. Pe acest interval: ∣a+x∣=−(a+x),∣a2x+1∣=a2x+1.|a + x| = -(a + x), \qquad |a^2 x + 1| = a^2 x + 1. Ecuatia devine: a3−a2(a+x)+(a2x+1)=1,a^3 - a^2(a + x) + (a^2 x + 1) = 1, care se reduce la o identitate adevarata pentru orice xx din interval. Astfel, toate valorile intregi din intervalul [−1a2, −a]\left[-\frac{1}{a^2},\, -a\right] sunt solutii.
33 puncte
Numarul solutiilor intregi este numarul de intregi din acest interval. Acest numar este cel putin 4 atunci cand lungimea intervalului este cel putin 3. Conditia este: −a+1a2≥3.-a + \frac{1}{a^2} \ge 3. Rezolvand aceasta conditie (analiza pe semne si factorizare) obtinem intervalele: a≤−3sau−13≤a≤12.a \le -3 \quad \text{sau} \quad -\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{2}. De asemenea, pentru a=0a = 0, ecuatia devine ∣1∣=1|1| = 1, adevarata pentru orice xx, deci admite infinit de multe solutii intregi; acest caz este inclus in intervalul final.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvati inegalitatea ∣2x−4∣<x−1.|2x - 4| < x - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Partea dreapta trebuie sa fie pozitiva: x−1>0⇒x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1.
24 puncte
Cazul 1: x≥2x \ge 2, atunci ∣2x−4∣=2x−4|2x - 4| = 2x - 4 si inegalitatea devine 2x−4<x−1⇒x<32x - 4 < x - 1 \Rightarrow x < 3. Rezulta 2≤x<32 \le x < 3. Cazul 2: 1<x<21 < x < 2, atunci 2x−4<02x - 4 < 0 si ∣2x−4∣=−2x+4|2x - 4| = -2x + 4. Avem −2x+4<x−1⇒−3x<−5⇒x>53-2x + 4 < x - 1 \Rightarrow -3x < -5 \Rightarrow x > \tfrac{5}{3}. Impreuna cu x<2x < 2 obtinem 53<x<2\tfrac{5}{3} < x < 2.
33 puncte
Reunind cele doua intervale obtinem solutia (53,3)(\tfrac{5}{3}, 3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvati inegalitatea ∣x+2∣−∣x−1∣<x−32.|x + 2| - |x - 1| < x - \tfrac{3}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Punctele critice sunt x=−2x = -2 si x=1x = 1. Impartim pe intervalele (−∞,−2](-\infty,-2], [−2,1][-2,1] si [1,∞)[1,\infty).
24 puncte
Pentru x≤−2x \le -2: ∣x+2∣=−(x+2)|x+2| = -(x+2), ∣x−1∣=−(x−1)|x-1| = -(x-1). Atunci ∣x+2∣−∣x−1∣=−3|x+2| - |x-1| = -3. Inegalitatea devine −3<x−32-3 < x - \tfrac{3}{2}, deci x>−32x > -\tfrac{3}{2}, imposibil cu x≤−2x \le -2. Pentru −2≤x≤1-2 \le x \le 1: ∣x+2∣=x+2|x+2| = x+2, ∣x−1∣=1−x|x-1| = 1-x. Atunci ∣x+2∣−∣x−1∣=2x+1|x+2| - |x-1| = 2x + 1. Inegalitatea 2x+1<x−322x + 1 < x - \tfrac{3}{2} da x<−52x < -\tfrac{5}{2}, imposibil pe acest interval. Pentru x≥1x \ge 1: ∣x+2∣=x+2|x+2| = x+2, ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1. Atunci ∣x+2∣−∣x−1∣=3|x+2| - |x-1| = 3. Inegalitatea 3<x−323 < x - \tfrac{3}{2} da x>92x > \tfrac{9}{2}.
33 puncte
Singura solutie este x>92x > \tfrac{9}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Algebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvati inegalitatea 5x+84−x<2.\frac{5x + 8}{4 - x} < 2.

Rezolvare completă

Identica cu exercitiul 41 din lista — solutia ramane: (−∞,0)∪(4,∞).(-\infty, 0) \cup (4, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Algebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Rezolvati inegalitatea 2x2−4x−5x2−4x−5≥0.\dfrac{2x^2 - 4x - 5}{x^2 - 4x - 5} \ge 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Factorizam numitorul: x2−4x−5=(x−5)(x+1)x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1). Ecuatia 2x2−4x−5=02x^2 - 4x - 5 = 0 are discriminantul Δ=(−4)2−4⋅2⋅(−5)=16+40=56\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 16 + 40 = 56, deci radacinile sunt x1,2=4±2144=1±142.x_{1,2} = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{14}}{4} = 1 \pm \dfrac{\sqrt{14}}{2}. Punctele critice sunt x=−1,5,1±142x = -1, 5, 1 \pm \dfrac{\sqrt{14}}{2}.\n
24 puncte
Construim tabelul de semne pentru factorii (x−5)(x - 5), (x+1)(x + 1) si (2x2−4x−5)(2x^2 - 4x - 5). Tinem cont ca pentru xx foarte mare 2x2−4x−5>02x^2 - 4x - 5 > 0. Determinam intervalele unde fractia este ≥0\ge 0 (numarator si numitor cu acelasi semn).\n
33 puncte
Dupa analiza semnelor, obtinem solutia formata din reuniunea intervalelor in care fractia este pozitiva sau zero, excluzand punctele in care numitorul este zero: x=−1,5x = -1, 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvati inegalitatea x+7x−5+3x+12≥0.\dfrac{x + 7}{x - 5} + \dfrac{3x + 1}{2} \ge 0.
Mediu#7Algebră și Calcule cu Numere RealePolinoameStudiul funcțiilor
Rezolvati inegalitatea 2x2+1x>0.2x^2 + \frac{1}{x} > 0.
Mediu#8Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvati inegalitatea 14xx+2<9x−30x−3.\dfrac{14x}{x + 2} < \dfrac{9x - 30}{x - 3}.
Mediu#9Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-leaStudiul funcțiilor
Pentru ce valori reale ale lui aa imaginea funcției y=x+1a+x2y=\dfrac{x+1}{a+x^2} conține intervalul [0,1][0,1]?
Mediu#10Algebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Pentru ce valori reale ale lui aa imaginea funcției y=x−11−x2−ay=\dfrac{x-1}{1-x^2-a} nu conține nicio valoare din intervalul [−1,1][-1,1]?
Mediu#11Algebră și Calcule cu Numere RealeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea 21−x−2x+12x−1≤0\displaystyle\frac{2^{1-x}-2^x+1}{2^x-1} \le 0.
Mediu#12Algebră și Calcule cu Numere RealeLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: xlog⁡2(x)≥2\sqrt{x^{\log_2\left(\sqrt{x}\right)}} \ge 2.
Mediu#13Algebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Rezolvați ecuația: 2tan⁡x−cos⁡2x=22\tan x - \cos 2x = 2.
Mediu#14Algebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrieEcuații iraționale
Rezolvați inegalitatea în (x,y)(x,y): 12cos⁡2x y2−y+12≤1\dfrac{1}{2\cos^2 x}\,\sqrt{y^2-y+\tfrac12}\le 1.
Mediu#15Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-leaMatematică aplicată
Un ciclist a parcurs 96 km cu două ore mai repede decât estimase. În fiecare oră a parcurs cu 1 km mai mult decât intenționa să parcurgă în 1 h 15 min. Care a fost viteza sa?

Și alte 77 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Accesează toate cele 92 probleme de Algebră și Calcule cu Numere Reale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.