Probleme grele de Aplicații ale derivatelor

Clasa a 11-a • 1 probleme de nivel greu

Ușor (57)Mediu (184)Toate
Greu#1Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorGeometrie Analitică
Fie funcția f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Se știe că ff are un punct de extrem local în x=1x=1 și că tangenta la graficul funcției în punctul de abscisă x=0x=0 este dreapta de ecuație y=2x+3y=2x+3. Determinați coeficienții a,b,c,da,b,c,d astfel încât aria triunghiului format de tangentele la grafic în punctele de extrem să fie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Scriem condiția de punct de extrem: f′(1)=0f'(1)=0, deoarece x=1x=1 este punct de extrem.
22 puncte
Din ecuația tangentei în x=0x=0, avem f(0)=3f(0)=3 și f′(0)=2f'(0)=2.
33 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații: f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c, deci f′(1)=3a+2b+c=0f'(1)=3a+2b+c=0, f(0)=d=3f(0)=d=3, f′(0)=c=2f'(0)=c=2. Obținem c=2c=2, d=3d=3, și 3a+2b+2=03a+2b+2=0.
42 puncte
Găsim punctele de extrem rezolvând f′(x)=0f'(x)=0 cu c=2c=2: 3ax2+2bx+2=03ax^2+2bx+2=0. Știm că x=1x=1 este rădăcină, deci 3a+2b+2=03a+2b+2=0. Pentru a avea două puncte de extrem, discriminantul trebuie să fie pozitiv. Calculăm ecuațiile tangentelor în aceste puncte folosind f(x)f(x) și derivatele.
52 puncte
Exprimăm aria triunghiului format de tangente în funcție de aa și bb, folosind condiția 3a+2b+2=03a+2b+2=0 pentru a reduce la un singur parametru. Derivăm această expresie a ariei în raport cu parametrul și găsim valoarea minimă, determinând apoi a,b,c,da,b,c,d.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Accesează toate cele 1 probleme de Aplicații ale derivatelor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.