Probleme ușoare de Aplicații ale derivatelor

Clasa a 11-a • 57 probleme de nivel ușor

Mediu (184)Greu (1)Toate
Ușor#1Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Funcția venitului este R(x)=x⋅p(x)=x(200−0.5x)=200x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(200 - 0.5x) = 200x - 0.5x^2.
22 puncte
Funcția profitului este P(x)=R(x)−C(x)=(200x−0.5x2)−(0.1x2+50x+1000)=150x−0.6x2−1000P(x) = R(x) - C(x) = (200x - 0.5x^2) - (0.1x^2 + 50x + 1000) = 150x - 0.6x^2 - 1000.
33 puncte
Derivata funcției profitului: P′(x)=150−1.2xP'(x) = 150 - 1.2x. Setăm P′(x)=0⇒150−1.2x=0⇒x=125P'(x) = 0 \Rightarrow 150 - 1.2x = 0 \Rightarrow x = 125.
42 puncte
Verificăm maximul: P′′(x)=−1.2<0P''(x) = -1.2 < 0, deci x=125x=125 este punct de maxim.
51 punct
Profitul maxim este P(125)=150⋅125−0.6⋅1252−1000=18750−9375−1000=8375P(125) = 150 \cdot 125 - 0.6 \cdot 125^2 - 1000 = 18750 - 9375 - 1000 = 8375 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăMatematică financiară
O companie produce un produs. Funcția cost este C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, iar funcția venit este R(x)=200x−0.05x2R(x) = 200x - 0.05x^2, unde xx este numărul de unități. Determinați numărul de unități care maximizează profitul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definim funcția profit P(x)=R(x)−C(x)=(200x−0.05x2)−(0.1x2+50x+1000)=−0.15x2+150x−1000P(x) = R(x) - C(x) = (200x - 0.05x^2) - (0.1x^2 + 50x + 1000) = -0.15x^2 + 150x - 1000.
23 puncte
Calculăm derivata P′(x)=−0.3x+150P'(x) = -0.3x + 150 și o egalăm cu zero: −0.3x+150=0-0.3x + 150 = 0.
33 puncte
Rezolvăm ecuația: x=1500.3=500x = \frac{150}{0.3} = 500.
42 puncte
Verificăm că este maxim: P′′(x)=−0.3<0P''(x) = -0.3 < 0, deci punctul x=500x=500 este de maxim. Astfel, numărul de unități care maximizează profitul este 500.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un fermier are un câmp dreptunghiular cu perimetrul de 200 de metri. El dorește să împartă câmpul în două părți egale cu un gard paralel cu una dintre laturi. Determinați dimensiunile câmpului astfel încât aria totală a celor două părți să fie maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm lungimea câmpului cu ll și lățimea cu LL. Perimetrul este 2l+2L=2002l + 2L = 200, deci l+L=100l + L = 100. Gardul este paralel cu lățimea, împărțind lungimea în două părți egale, fiecare de lungime l/2l/2. Aria totală a celor două părți este A=2⋅(l/2⋅L)=l⋅LA = 2 \cdot (l/2 \cdot L) = l \cdot L. Exprimăm L=100−lL = 100 - l, deci A(l)=l(100−l)=100l−l2A(l) = l(100 - l) = 100l - l^2.
23 puncte
Derivăm funcția: A′(l)=100−2lA'(l) = 100 - 2l. Egalăm cu zero: 100−2l=0100 - 2l = 0.
33 puncte
Rezolvăm: l=50l = 50. Atunci L=100−50=50L = 100 - 50 = 50.
42 puncte
Verificăm maximul: A′′(l)=−2<0A''(l) = -2 < 0, deci l=50l=50 este punct de maxim. Dimensiunile câmpului sunt l=50l=50 m și L=50L=50 m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un fermier dorește să îngrădească un teren dreptunghiular cu un gard având lungimea totală de 100 de metri. Una dintre laturi se află de-a lungul unui râu, astfel că nu este nevoie de gard pe acea parte. Determinați dimensiunile terenului astfel încât aria să fie maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se notează cu xx lungimea laturii paralele cu râul și cu yy lungimea celorlalte două laturi. Perimetrul gardului este x+2y=100x + 2y = 100, deci y=100−x2y = \frac{100 - x}{2}. Aria este A(x)=x⋅y=x⋅100−x2=100x−x22A(x) = x \cdot y = x \cdot \frac{100 - x}{2} = \frac{100x - x^2}{2}.
23 puncte
Se derivează funcția: A′(x)=100−2x2=50−xA'(x) = \frac{100 - 2x}{2} = 50 - x. Se află punctele critice: A′(x)=0⇒50−x=0⇒x=50A'(x) = 0 \Rightarrow 50 - x = 0 \Rightarrow x = 50.
32 puncte
Se verifică dacă punctul este de maxim. A′′(x)=−1<0A''(x) = -1 < 0, deci x=50x = 50 este punct de maxim.
42 puncte
Pentru x=50x = 50, y=100−502=25y = \frac{100 - 50}{2} = 25. Deci dimensiunile sunt 5050 m și 2525 m, iar aria maximă este A(50)=100⋅50−5022=5000−25002=1250A(50) = \frac{100 \cdot 50 - 50^2}{2} = \frac{5000 - 2500}{2} = 1250 m2^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O companie produce și vinde un produs. Funcția cost este C(x)=0.1x2+10x+1000C(x) = 0.1x^2 + 10x + 1000, iar funcția venit este R(x)=50xR(x) = 50x, unde xx este numărul de unități. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrieți funcția profit P(x)=R(x)−C(x)=50x−(0.1x2+10x+1000)=−0.1x2+40x−1000P(x) = R(x) - C(x) = 50x - (0.1x^2 + 10x + 1000) = -0.1x^2 + 40x - 1000.
22 puncte
Calculați derivata P′(x)=−0.2x+40P'(x) = -0.2x + 40.
32 puncte
Rezolvați P′(x)=0P'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice: −0.2x+40=0⇒x=200-0.2x + 40 = 0 \Rightarrow x = 200.
42 puncte
Verificați semnul derivatei a doua P′′(x)=−0.2<0P''(x) = -0.2 < 0, deci x=200x = 200 este punct de maxim.
52 puncte
Calculați profitul maxim: P(200)=−0.1⋅2002+40⋅200−1000=−4000+8000−1000=3000P(200) = -0.1 \cdot 200^2 + 40 \cdot 200 - 1000 = -4000 + 8000 - 1000 = 3000.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O companie produce un bun cu funcția de cost C(q)=2q2+10q+100C(q) = 2q^2 + 10q + 100 și funcția de venit V(q)=50q−0.5q2V(q) = 50q - 0.5q^2, unde qq este cantitatea produsă. Determinați cantitatea qq care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#7Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
Se consideră un dreptunghi cu perimetrul de 40 cm. Determinați dimensiunile dreptunghiului astfel încât aria sa să fie maximă.
Ușor#8Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+20x+500C(x) = 0.1x^2 + 20x + 500, unde xx este numărul de unități produse. Venitul total din vânzare este V(x)=100x−0.5x2V(x) = 100x - 0.5x^2. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul firmei și calculați profitul maxim.
Ușor#9Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăGeometrie Analitică
Un fermier are la dispoziție 100 m de gard și vrea să înconjoare un teren rectangular. Determinați dimensiunile dreptunghiului (lungimea și lățimea) astfel încât aria să fie maximă.
Ușor#10Aplicații ale derivatelorFuncția de gradul al II-leaMatematică aplicată
Un teren în formă de dreptunghi are perimetrul de 100 m. Determinați dimensiunile dreptunghiului astfel încât aria să fie maximă.
Ușor#11Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce și vinde un produs. Funcția costului este dată de C(x)=1000+50x+0.1x2C(x) = 1000 + 50x + 0.1x^2 și funcția venitului este R(x)=120x−0.05x2R(x) = 120x - 0.05x^2, unde xx este numărul de unități. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#12Aplicații ale derivatelorArii și volumeMonotonie și convexitate
Se consideră un dreptunghi cu perimetrul de 40 cm. Determinați dimensiunile dreptunghiului astfel încât aria sa să fie maximă. Verificați că punctul critic găsit este de maxim folosind monotonia sau convexitatea. Apoi, calculați aria maximă.
Ușor#13Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un fermier dorește să construiască un depozit rectangular alături de un zid existent. El are disponibil 100100 m de gard pentru a împrejmui cele trei laturi libere ale depozitului. Determinați dimensiunile depozitului care maximizează aria, și calculați aria maximă.
Ușor#14Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O companie de taxi estimează că costul total pentru a parcurge xx kilometri într-o zi este dat de funcția C(x)=0.03x2+10x+200C(x) = 0.03x^2 + 10x + 200, iar venitul este V(x)=25xV(x) = 25x. Aflați numărul de kilometri care maximizează profitul zilnic și profitul maxim corespunzător.
Ușor#15Aplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăMatematică aplicată
Se dorește construirea unui teren dreptunghiular folosind 100 m de gard. Unul dintre laturile dreptunghiului este format de un râu, astfel că nu este necesar gard pe acea latură. Determinați dimensiunile terenului (lungimea și lățimea) astfel încât aria să fie maximă. Calculați această arie maximă.

Și alte 42 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Accesează toate cele 57 probleme de Aplicații ale derivatelor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.