Probleme de nivel mediu de Aplicații ale derivatelor

Clasa a 11-a • 184 probleme de nivel mediu

Ușor (57)Greu (1)Toate
Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Scrieți funcția profitului: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(150−x)−(0.2x2+30x+500)=−1.2x2+120x−500P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(150 - x) - (0.2x^2 + 30x + 500) = -1.2x^2 + 120x - 500.
23 puncte
Calculați derivata: P′(x)=−2.4x+120P'(x) = -2.4x + 120.
32 puncte
Aflați punctele critice: setați P′(x)=0P'(x) = 0, deci −2.4x+120=0-2.4x + 120 = 0, rezultă x=50x = 50.
41 punct
Verificați că este maxim folosind derivata a doua: P′′(x)=−2.4<0P''(x) = -2.4 < 0, deci x=50x = 50 este punct de maxim.
51 punct
Calculați profitul maxim: P(50)=−1.2⋅502+120⋅50−500=2500P(50) = -1.2 \cdot 50^2 + 120 \cdot 50 - 500 = 2500.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
12 puncte
Definiți funcția profitului P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p(x)R(x) = x \cdot p(x) este venitul.
21 punct
Calculați R(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2.
31 punct
Scrieți P(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−3x2+30x+100)P(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100).
41 punct
Simplificați P(x)=−0.1x3+2.5x2+20x−100P(x) = -0.1x^3 + 2.5x^2 + 20x - 100.
51 punct
Găsiți derivata P′(x)=−0.3x2+5x+20P'(x) = -0.3x^2 + 5x + 20.
62 puncte
Rezolvați ecuația P′(x)=0P'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice: −0.3x2+5x+20=0-0.3x^2 + 5x + 20 = 0.
71 punct
Determinați care punct critic dă maximul, folosind derivata a doua sau testul intervalelor.
81 punct
Calculați profitul maxim înlocuind xx găsit în P(x)P(x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
11 punct
Notați variabilele: fie aa latura bazei și hh înălțimea depozitului. Scrieți relația pentru volum: a2h=500a^2 h = 500.
22 puncte
Exprimați costul total: costul pereților este 10×(4ah)=40ah10 \times (4ah) = 40ah, costul acoperișului este 15×a2=15a215 \times a^2 = 15a^2, deci C=40ah+15a2C = 40ah + 15a^2.
31 punct
Din volum, exprimați h=500a2h = \frac{500}{a^2}.
41 punct
Substituiți în funcția de cost: C(a)=40a⋅500a2+15a2=20000a+15a2C(a) = 40a \cdot \frac{500}{a^2} + 15a^2 = \frac{20000}{a} + 15a^2.
51 punct
Calculați derivata: C′(a)=−20000a2+30aC'(a) = -\frac{20000}{a^2} + 30a.
62 puncte
Aflați punctele critice: rezolvați C′(a)=0C'(a)=0, adică −20000a2+30a=0⇒30a3=20000⇒a3=20003⇒a=200033-\frac{20000}{a^2} + 30a = 0 \Rightarrow 30a^3 = 20000 \Rightarrow a^3 = \frac{2000}{3} \Rightarrow a = \sqrt[3]{\frac{2000}{3}}.
71 punct
Verificați că este minim: calculați C′′(a)=40000a3+30>0C''(a) = \frac{40000}{a^3} + 30 > 0 pentru a>0a>0, deci punctul critic este de minim.
81 punct
Determinați dimensiunile: a=200033a = \sqrt[3]{\frac{2000}{3}} m și h=500a2=500(200033)2h = \frac{500}{a^2} = \frac{500}{\left(\sqrt[3]{\frac{2000}{3}}\right)^2} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un antreprenor produce un anumit tip de produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+13x+200C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 200, unde xx reprezintă numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este de 10 u.m. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim obținut.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Scrierea funcției profit P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=10xR(x) = 10x este venitul total. Deci P(x)=10x−(0.01x3−0.6x2+13x+200)=−0.01x3+0.6x2−3x−200P(x) = 10x - (0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 200) = -0.01x^3 + 0.6x^2 - 3x - 200;
22 puncte
Calculul derivatei P′(x)=−0.03x2+1.2x−3P'(x) = -0.03x^2 + 1.2x - 3;
32 puncte
Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x) = 0, adică −0.03x2+1.2x−3=0-0.03x^2 + 1.2x - 3 = 0, echivalent cu x2−40x+100=0x^2 - 40x + 100 = 0, cu soluțiile x1=20−103x_1 = 20 - 10\sqrt{3} și x2=20+103x_2 = 20 + 10\sqrt{3};
42 puncte
Analiza semnului derivatei a doua P′′(x)=−0.06x+1.2P''(x) = -0.06x + 1.2. Pentru x2x_2, P′′(20+103)<0P''(20 + 10\sqrt{3}) < 0, deci punct de maxim. Numărul de unități este x2=20+103≈37.32x_2 = 20 + 10\sqrt{3} \approx 37.32, dar din context, xx este întreg, deci se consideră x=37x = 37 sau x=38x = 38;
52 puncte
Calculul profitului pentru x=37x = 37: P(37)=−0.01(37)3+0.6(37)2−3(37)−200=−506.53+821.4−111−200=3.87P(37) = -0.01(37)^3 + 0.6(37)^2 - 3(37) - 200 = -506.53 + 821.4 - 111 - 200 = 3.87 u.m. și pentru x=38x = 38: P(38)=−0.01(38)3+0.6(38)2−3(38)−200=−548.72+866.4−114−200=3.68P(38) = -0.01(38)^3 + 0.6(38)^2 - 3(38) - 200 = -548.72 + 866.4 - 114 - 200 = 3.68 u.m. Maximul este la x=37x = 37 unități;
61 punct
Concluzia: numărul de unități este 37, cu profit maxim de aproximativ 3.87 u.m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O firmă produce un bun. Funcția cost total este C(x)=0.1x3−2x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100, unde xx este cantitatea produsă în unități. Prețul de vânzare pe unitate este dat de funcția p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul firmei și calculați profitul maxim. Verificați dacă punctul găsit este de maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea funcției profit. Profitul P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2. Atunci P(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+30x+100)=−0.1x3+1.5x2+20x−100P(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 20x - 100.
23 puncte
Găsirea punctelor critice. Derivata P′(x)=−0.3x2+3x+20P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 20. Se rezolvă ecuația P′(x)=0⇒−0.3x2+3x+20=0⇒3x2−30x−200=0⇒x2−10x−2003=0P'(x) = 0 \Rightarrow -0.3x^2 + 3x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 30x - 200 = 0 \Rightarrow x^2 - 10x - \frac{200}{3} = 0. Discriminantul Δ=100+8003=11003\Delta = 100 + \frac{800}{3} = \frac{1100}{3}, deci x=10±110032=10±103332=5±5333x = \frac{10 \pm \sqrt{\frac{1100}{3}}}{2} = \frac{10 \pm \frac{10\sqrt{33}}{3}}{2} = 5 \pm \frac{5\sqrt{33}}{3}. Se ia soluția pozitivă x0=5+5333x_0 = 5 + \frac{5\sqrt{33}}{3} (aproximativ x0≈14.56x_0 \approx 14.56, dar se va lucra cu forma exactă).
33 puncte
Verificarea naturii punctului critic. Se calculează derivata a doua: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru x0x_0, P′′(x0)=−0.6(5+5333)+3=−3−33+3=−33<0P''(x_0) = -0.6(5 + \frac{5\sqrt{33}}{3}) + 3 = -3 - \sqrt{33} + 3 = -\sqrt{33} < 0, deci x0x_0 este punct de maxim.
41 punct
Calculul profitului maxim. Se înlocuiește x0x_0 în P(x)P(x): P(x0)=−0.1(5+5333)3+1.5(5+5333)2+20(5+5333)−100P(x_0) = -0.1(5 + \frac{5\sqrt{33}}{3})^3 + 1.5(5 + \frac{5\sqrt{33}}{3})^2 + 20(5 + \frac{5\sqrt{33}}{3}) - 100. Se poate lăsa sub formă algebrică sau se poate aproxima numeric la Pmax≈145.8P_{\text{max}} \approx 145.8 unități monetare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un produs cu costul total dat de funcția C(x)=1000+50x+0.1x2C(x) = 1000 + 50x + 0.1x^2, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#7Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăMatematică financiară
O companie produce un articol. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100 (în mii de lei), iar prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#8Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un fermier dorește să împrejmuiească un teren dreptunghiular cu o suprafață de 200 m2200 \text{ m}^2. Una dintre laturi se află de-a lungul unui râu, deci nu este nevoie de gard pe acea latură. Gardul va fi folosit pentru celelalte trei laturi. Determinați dimensiunile terenului astfel încât lungimea totală a gardului să fie minimă.
Mediu#9Aplicații ale derivatelorDerivateMatematică aplicată
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+10x+1000C(x) = 0.1x^2 + 10x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați cantitatea care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#10Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
Profitul unei firme, în mii de lei, obținut din vânzarea a xx mii de unități dintr-un produs, este dat de funcția P(x)=−x3+12x2−36x+20P(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 20, pentru x∈[0,10]x \in [0, 10]. Determinați cantitatea care maximizează profitul pe intervalul dat și calculați profitul maxim.
Mediu#11Aplicații ale derivatelorAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Se știe că suma dintre lungimea laturii bazei și înălțimea depozitului este de 12 m12 \,\text{m}. Determinați dimensiunile depozitului astfel încât volumul să fie maxim și calculați acest volum maxim.
Mediu#12Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−1.2x2+60x+500C(x) = 0.01x^3 - 1.2x^2 + 60x + 500, unde xx este numărul de unități produse (în mii). Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=100−0.5xp(x) = 100 - 0.5x (în lei). Determinați numărul de unități care trebuie produse și vândute pentru a maximiza profitul companiei.
Mediu#13Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O companie produce un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.01x3−1.5x2+90x+1000C(x) = 0.01x^3 - 1.5x^2 + 90x + 1000, unde xx este numărul de unități produse, iar funcția venitului total este V(x)=200x−0.5x2V(x) = 200x - 0.5x^2. Determinați cantitatea de produse care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#14Aplicații ale derivatelorDerivateMatematică aplicată
O companie produce un produs. Funcția costului este C(x)=500+40x+0.2x2C(x) = 500 + 40x + 0.2x^2 iar funcția venitului este R(x)=150x−0.3x2R(x) = 150x - 0.3x^2, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Guvernul introduce o taxă de tt lei per unitate vândută. a) Găsiți valoarea lui tt pentru care profitul maxim este nul. b) Pentru t=10t = 10, determinați numărul de unități care maximizează profitul și profitul maxim.
Mediu#15Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determină numărul de unități care maximizează profitul și profitul maxim.

Și alte 169 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Accesează toate cele 184 probleme de Aplicații ale derivatelor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.